Matematické Fórum

Ahoj!

Znovu jsem si po jisté době hrál s Velkou Fermatovou větou a studoval jsem co všechno jde zjistit. Během toho jsem našel pár zajímavých tvrzení se zajímavými důkazy. Rozhodl jsem se sem sdílet je v tomto vlákně. Všechny jsem si odvodil sám, i když si jsem jistý že to nejsou žádné novinky.

Tvrzení 1:
Nechť [mathjax]x[/mathjax] a [mathjax]y[/mathjax] jsou celá čísla a [mathjax]n[/mathjax] je libovolné přirozené číslo tvaru [mathjax]6k+1[/mathjax] nebo [mathjax]6k-1[/mathjax]. Potom platí že [mathjax]x^2+xy+y^2[/mathjax] beze zbytku dělí [mathjax]x^{2n}+x^ny^n+y^{2n}[/mathjax]

-- Důkaz je docela jednoduchý, vlastně bych to ani nenazval důlazem. Docela těžké bylo na toto tvrzení přijít :D Je extrémně užitečné pro analýzu Velké Fermatovy věty, protože [mathjax]x^n+y^n+z^n = 0[/mathjax] implikuje [mathjax]x^{2n}+x^ny^n+y^{2n} = y^{2n}+y^nz^n+z^{2n} = z^{2n}+z^nx^n+x^{2n} = x^{2n}-y^nz^n = y^{2n}-z^nx^n=z^{2n}-x^ny^n[/mathjax]

Tvrzení 2:
Nechť [mathjax]x[/mathjax] a [mathjax]y[/mathjax] jsou celá čísla s nenulovým součtem a [mathjax]n[/mathjax] je pročíslo větší než 2. Potom všechny prvočíselné dělitele čísla [mathjax]\frac{x^n+y^n}{x+y}[/mathjax] jsou buď [mathjax]n[/mathjax] nebo tvaru [mathjax]kn+1[/mathjax] pro nějaké přirozené číslo [mathjax]k[/mathjax]

-- Důkaz je docela tricky ale fakt to umožní experimentovat s Velkou Fermatovou větou mnohem lépe!


Otázka:
Kdybych sem napsal co všechno jsem zvládl odvodit za implikace Velké Fermatovy věty pouze z těchto dvou tvrzení, byl by zájem si to přečíst? Ty tvrzení jsou skvělá a umožňují problém uchopit