Matematické Fórum

↑ kastanek:
Ahoj, co to umocnit na třetí a podívat se co to udělá. :-) A pak třeba ještě na druhou...

Ale stejně - když ti třeba vyjde výsledek [mathjax]\sqrt[3]{10}[/mathjax], tak to stejně bez kalkulačky nespočítáš, ne? :-)

... a ten první jako [mathjax]1-\sqrt {3}[/mathjax]

↑ kastanek:

První:

[mathjax]10-6\sqrt {3} = 1+9-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1-3\sqrt{3}+9-3\sqrt{3}=...[/mathjax]

Druhý (↑ check_drummer:) podobně

a je třeba to dokopat ke třetí mocnině dvojčlenu...

↑ Eratosthenes:
Ale to píšeš jen proto, že víš, jaký je výsledek. Jak na to ale má tazatel přijít bez té znalosti?

surovec napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ale to píšeš jen proto, že víš, jaký je výsledek. Jak na to ale má tazatel přijít bez té znalosti?

To mě celkem štve na mnoha důkazech - tam se prezentuje nějaký postup, který logicky vede k cíli, ale člověk absolutně nevidí žádou motivaci, proč by daný krok důkazu měl být právě takový... a celé to končí odvozením požadovaného závěru. Přesvědčivé, ale na nic, daleko lepší by bylo, kdyby tam byla vysvětlena i ta motivace.

↑ check_drummer:

U důkazů je to svým způsobem jednodušší, protože tam právě "znáš ten výsledek" - víš, co chceš dokázat. A že se blbě čtou, to je  tím, že jsou někdy dost blbě didakticky napsaný. Ten, kdo důkaz napsal, totiž většinou musel vidět dost kroků dopředu a ten, kdo to čte, dopředu nevidí.

To je tak úžasné, že to snad stojí za zapamatování, že

[mathjax]\sqrt[3]{(a+\sqrt{b})^3}+\sqrt[3]{(a-\sqrt{b})^3}=2a[/mathjax]

Když to člověk ví, tak příklady "tohoto typu" dokáže celkem snadno řešit.

Třeba náš příklad, obsahující [mathjax]\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}[/mathjax], tak pokud to má jít rozložit, tak pro tu desítku musí platit


[mathjax]10 = a^3 + 3ab = a(a^2+3b)[/mathjax]

z čehož plyne, že to (ta desítka) musí být dělitelná číslem a. Takže a může být 1, 2, 5, 10. A když známe a, zjistíme, jestli nám vychází i to b.

Vyzkoušet 4 možnosti je hned,

a=10 -> a^2+3b = 1, b = -33
a=5 -> a^2 + 3b = 2, b = -23/3
a=2 -> a^2 + 3b = 5, b = -1/3
a=1 -> a^2 + 3b = 10, b = 3

To číslo pod odmocninou má být trojka, takže stačí vyzkoušet, jestli platí (polovinu už máme hotovou, stačí počítat ty zbylé dva členy): [mathjax](1+\sqrt{3})^3 = 10 + 6\sqrt{3}[/mathjax]

Ale rozhodně je pravda, že podobné příklady je mnohem jednodušší vymýšlet, než řešit. Kdo se nudí, může zkusit

[mathjax]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/mathjax]

MichalAld napsal(a):

To je tak úžasné, že to snad stojí za zapamatování, že

[mathjax]\sqrt[3]{(a+\sqrt{b})^3}+\sqrt[3]{(a-\sqrt{b})^3}=2a[/mathjax]

To je ale triviální ne? Spíš jedo to přijít na to, že lze tohoto tvaru dosáhnout.

↑ check_drummer:
Myslel jsem, že vy matematici máte tohle v oblibě ... že "postup řešení" je uhádnout správné řešení, a pak ověřit, že je správné.

↑ MichalAld:
To je taky jeden z možných postupů. Nekorektně odvodit, korektně dokázat.

Jen pro zajimavost.

Jeden z korenu kubicke rovnice [mathjax] x^3+px+q=0 [/mathjax] lze podle Cardanovych vzorcu vyjadrit ve tvaru

[mathjax] {\displaystyle \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}  } [/mathjax]

To odpovida vyrazu [mathjax]\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}} + \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}[/mathjax] pro [mathjax] q=-20 [/mathjax] a [mathjax] p=6 [/mathjax].

Cislo [mathjax]\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}} + \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}[/mathjax] je tedy korenem kubicke rovnice [mathjax] x^3+6x-20 = (x-2)(x^2+2x+10)  = 0 [/mathjax]

Edit: Pro [mathjax]\sqrt[3]{\frac{25}{27}+\frac{22}{27}\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\frac{25}{27}-\frac{22}{27}\sqrt{2}}[/mathjax] vychazi [mathjax] {\displaystyle q=-\frac{50}{27}} [/mathjax] a [mathjax] {\displaystyle p=\frac{7}{3} } [/mathjax] a kubicka rovnice [mathjax] {\displaystyle x^3 + \frac{7}{3}x- \frac{50}{27} = \left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{25}{9}\right) =0 }. [/mathjax]

Samozrejme ty rozklady clovek musi "hadat".

↑ laszky:
Však taky z řešení kubické rovnice ten původní výraz vzniknul ;-)