Matematické Fórum

↑ mirek_happy24:
Je třeba si uvědomit, co je výsledné číslo. Výsledné číslo je jen číslo, ke kterému se [mathjax]0,\overline{9}[/mathjax] přibližuje, ale nikdy ho nedosáhne.

[mathjax]0,\overline{9}=0,9+0,09+0,009+0,0009+...[/mathjax], takže k té jedničce se to neustále blíží.

↑ mirek_happy24:

Ta tvoje "magie" je zbytečně komplikovaná. Ukážu ti "magii" podstatně jednodušší:

[mathjax]1:3 = 0,333 333....=0,\overline 3 [/mathjax]

[mathjax]0,\overline 3 \cdot 3 =0,333 333... \cdot 3 = 0,999 999... = 0,\overline 9 [/mathjax]

Zdravím,
jak je to se zařazením periodického čísla [mathjax]0,\overline 9 [/mathjax] do číselné množiny, jetliže se platí [mathjax]0,\overline 9=1 [/mathjax] a jedna je přirozené číslo?

↑ vlado_bb:
Děkuji za odpověď. Ale dovedu si představit zvídavého studenta: "Jestliže je jedna přirozené číslo a je rovno číslu [mathjax]0,\overline 9 [/mathjax], je tedy i [mathjax]0,\overline 9 [/mathjax] přirozené, když platí ta rovnost?"

↑ vlado_bb:
A třeba i číslo [mathjax] \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}[/mathjax] je přirozené.

Al1 napsal(a):

↑ vlado_bb:
Děkuji za odpověď. Ale dovedu si představit zvídavého studenta: "Jestliže je jedna přirozené číslo a je rovno číslu [mathjax]0,\overline 9 [/mathjax], je tedy i [mathjax]0,\overline 9 [/mathjax] přirozené, když platí ta rovnost?"

Ale trochu vážně:

Záleží na tom, jak je definované [mathjax]0.\bar{9}[/mathjax]

Víme, že je to něco jako [mathjax]\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \frac{9}{100 000}+...[/mathjax]


Ale problém je, že bez dodatečných definic neumíme sečíst řadu, která nikde nekončí. Obecně umíme sečíst jen 2 čísla, a s využitím zákona o asociativitě jich umíme sečíst i více, protože můžeme začít tím, že sečteme dvě, z nich vznikne tedy jedno, a tak pokračujeme dále, až je posčítáme všechny. Ale uvedený postup nelze použít na sečtení nekonečného množství čísel, protože nikdy neskončíme a tak vlastně nelze zjistit, jaký je výsledek.

Takže pokud chceme sčítat nekonečné množství čísel, musíme vymyslet nějaký postup jak to udělat, aby vyžadoval jen konečný počet kroků - a zároveň nebyl s ničím ve sporu.

No a jedna z možností je, že pokud se nám podaří najít číslo, ke kterému se můžeme libovolně přiblížit tím že sečteme nějaké konečné množství členů, tak ho PROHLÁSÍME za součet té nekonečné řady. A v tomto případě je to číslo 1.

Existují i jiné způsoby jak definovat součet nekonečné řady, a některé z nich umožňují dokonce sčítat i řady, které "normálně" sečíst nejde, protože alternují, či dokonce divergují (i když tyhle metody mají zase svoji třídu problémů).


Nemůžeme ovšem tvrdit, že [mathjax]0.\bar{9} \neq 1[/mathjax] a zároveň že [mathjax]0.\bar{9} -0.\bar{9} = 0[/mathjax], protože se ihned dostaneme do sporů.

[mathjax]1 \neq 0.\bar{9}[/mathjax]

po vynásobení 10x bychom dostali

[mathjax]10 \neq 9.\bar{9} = 9 + 0.\bar{9}[/mathjax]

A po odečtení rovnic od sebe bychom dostali

[mathjax]9 \neq 9[/mathjax]

Což je zjevně spor, takže musí platit, že [mathjax]1 = 0.\bar{9}[/mathjax]