Matematické Fórum

Já nějak nerozumím, jaký vliv má na hlavní místnost ta vedlejší místnost... a jaký okolí ... hmotnost vzduchu v místnosti mi přijde zanedbatelná vůči hmotnosti stěn, nechápu jak může být objem místnosti 162m^3 když steně mají plochu jen 12m^2 což je třeba 3x4m, z čehož plyne objem 4x4x3 = 48. Nechápu, čím se to vlastně vytápí, jakým výkonem...

Zkus to popsat tak, aby se to dalo pochopit.

Jinak ten iterační postup je správný, je to jako napouštění nádoby, která má ve dně otvor, kterým to průběžně odtéká. Dá se to spočítat i přímo, ale je na to potřeba diferenciální rovnice. Ale úloha musí dávat smysl.

Takže co je potřeba:

celková plocha zdí přes kterou dochází k tepelným ztrátám.
Rozdíl teploty uvnitř a venku (ať už je venku cokoliv). Pokud mají různé zdi různou venkovní teplotu, je třeba znát i dílčí plochy těch zdí.
Hmotnost věcí uvnitř místnosti (pokud do toho nechceš zahrnovat ty zdi, je to tvoje věc)
A výkon topení, kterým to vytápíš.

A pak taky, co chceš vlastně spočítat.

Pak ještě nedává smysl, aby byla "tepelná ztráta" v jednotkách energie (tedy teplo). Tepelná ztráta odpovídá výkonu. A jak už zmínil Richard Tuček, tepelná ztráta je

[mathjax]P_z = S \cdot \lambda (T_1-T_2)[/mathjax]

Na tom není potřeba nic iterovat.

Pokud tě ovšem zajímá, kolik energie spotřebuješ na to, abys zvýšil teplotu v místnosti z tvých 288 na 298K, musíš doplnit nějaké údaje:

1) nějakou hmotu, která v té místnosti je, a kterou potřebuješ ohřát. Pokud tam žádná hmota nebude, tak prostě jen zvýšíš výkon topení a teplota ze zvedne okamžitě (a není na to potřeba žádná energie). To je samozřejmě pitomost - protože je pitomost, aby místnosti neměly žádnou hmotnost.

2) jak dlouho má to vytápění trvat, nebo jaký výkon bude mít to topení. Čím déle to budeš vyhřívat (čím nižší výkon topení) tím na to padne více energie, protože tím déle ti bude unikat teplo ven.


Pokud tedy bude mít hmota místnosti nějakou tepelnou kapacitu cm (m jako místnost) a topení výkon Pt, tak platí, že

[mathjax]P_t \cdot \Delta t - P_z \cdot\Delta t= c_m \Delta T[/mathjax]

t je čas, T je teplota.


To můžeme upravit na

[mathjax]\Delta T = \frac{P_t  \Delta t - P_z \Delta t}{c_m}=\frac{P_t  \ - P_z }{c_m}\Delta t[/mathjax]

tedy

[mathjax]T_{n+1} = T_n + \frac{P_t  \ - P_z }{c_m}\Delta t[/mathjax]

Ještě musíme vzpomenout, že tepelné ztráty Pz nejsou stále stejné, ale závisí na rozdílu teploty ve vytápěné místnosti a té sousední místnosti. Když to dosadíme, dostaneme finální vztah


[mathjax]T_{n+1} = T_n + \frac{P_t  \ - S\cdot \lambda(T_n - T_B) }{c_m}\Delta t[/mathjax]

TB je teplota v té sousedící místnosti,
Tn je teplota v naší místnosti, kterou počítáme.
dt je časový úsek, ten si můžeme zvolit, obecně čím menší tím přesnější výsledek dostaneme.

A můžeš iterovat. Není to nic složitého. Znáš počáteční teplotu T0, s tou začneš, spočítáš T1, z ní pak T2 a tak dále, až se dostaneš na teplotu kterou potřebuješ.

Pokud tě zajímá spotřebovaná energie, tak je to Pz * celkový čas.

Jo, a taky se ti může stát, že při nízkém výkonu topení požadované teploty nedosáhneš vůbec. Ve chvíli kdy se tepelné ztráty vyrovnají výkonu topení, tak teplota už dále neporoste. Je to tzv. ustálená teplota, a k ní se budeš jen exponenciálně blížit. Není nakonec velký problém tuhle rovnici vyřešit přímo a odvodit si tak vzorec.