Matematické Fórum

↑ Eratosthenes:
Ahoj,s tím, že shodné útvary považujeme za ekvivaletní bych byl opatrný. Co např. nepřímá shodnost? Pak by např. i úloha 1 měla jen jedno řešení. Ale i přímá shodnost může být problematická:

Např. je dána kružnice k, bod A a číslo d, sestrojte rovnostranný trojúhelník s délkou strany d, jehož jeden vrchol je A a druhý vrchol leží na kružnici k. Řešení může být více (ale např. i 0), ale všechny budou shodné (přímá shodnost) a přesto tak nějak cítíme, že je nechceme ztotožnit.

Sice jsou to všechno úlohy polohové, ale lze je formulovat jako nepolohové a ani tam bychom tedy nechtěli vždy ztozožnit shodná řešení.

↑ Eratosthenes:

Nejprve musíme definovatco je to polohová úloha - že je dána poloha některých prvků není úplně jasné co je tím myšleno. Ale intuitivně asi nějaké přesné umístění v rovině. A spíš než prvků bych možná řekl množin, resp. považujeme úsečku (kružnici, ..) za prvek nebo za množinu? Ale chápu to tedy tak, že v rovině máme předepsáno, dke některé prvky (množiny) mají ležet.

Ale je asi pravda, že z polohové úlohy uděláme nepolohovou těžko: A sice v případě, že je dáno víc prvků než jeden, např. pevná přímka p a bod A a máme na p sestrojit bod X tž |AX| je minimální. Ale i tak (opunuji si s předchozí větou) by to mohlo být možné: Např. může být dána libovolná přímka p a libovolný bod A tž vzdálenost(A,p) je pevně dána. Prostě vztahy mezi prvky nepopíšeme absolutně (polohou), ale relativně pomocí vzdáleností a úhlů.

Ale je tedy asi nutné přesněji specifikovat co je to nepolohová úloha. (Každá, která není polohová?) Je např. nepolohová úloha taková, která obsahuje informace, že je dán libovolný bod A, libovolný bod B takový, že |AB|=x a libovolný bod C takový, že |AC|=y a [mathjax]\measuredangle(CAB) = z[/mathjax] (kde x,y,z je dáno) a máme řekněme sestrojit kružnici k obsahující body A,B,C.
A nebo lépe (protože spojení "je dán" může zavánět plohovou úlohou) - je požadováno sestrojit nejen tu kružncii k, ale i body A,B,C splňující podmínky výše. To už by mohla být úloha nepolohová.

↑ check_drummer:

Myslím, že situace je jednodušší než si myslíš. Když už to bereme takto zeširoka a obecně, pojem "poloha", který je víceméně intuitivně,  ale s dostatečnou zřejmostí používán na ZŠ a SŠ, musíme nahradit sprostým slovem "incidence". Polohová = incidenční, nepolohová = neincidenční.

Neincidenční (dříve nepolohová :-)  úloha je úloha sestrojit útvar (chceš-li množinu bodů), který není omezen žádnými incidencemi kromě těch, které vyplývají z definic týkajících se útvaru samotného. Například sestrojit trojúhelník, když znám a, t_a, alfa je nepolohová. Ano těžnice sice musí incidovat se středem strany, ale to vyplývá z definice těžnice trojúhelníka a musí to platit pro každý trojúhelník bez ohledu na nějakou úlohu. Je to incidence, která je dána útvarem samotným.

V momentě, kdy místo velikosti té těžnice budu mít zadáno, že střed strany má ležet na nějaké (jakkoliv libovolné) přímce, nebo v nějakém (jakkoliv libovolném) bodě, už je to úloha incidenční (dříve polohová), protože už to není incidence, která platí v každém trojúhelníku. Když v "nepolohovém" zadání trojúhelníka "a, t_a, alfa"  tomu chudákovi přibijeě těžnici na nějakou přímku nebo úsečku, už je to úloha incidenční (polohová), protože existuje spousta trojúhelníků, které mají těžnici úplně jinde.

Takže když máme sestrojit bod X, která  L E Ž Í na přímce p, je to bez ohledu na ostatní podmínky úloha  P O L O H O V Á, protože chudák bod má omezenou P O L O H U, což spousta jiných bodů nemá :-)

V takových případech bych dost pochyboval, že je toto rozlišování nějak potřebné. Ale třeba u toho trojúhelníka je to opravdu zajímavé.  "Nepolohově" je trojúhelních určen třemi prvky (chceš-li údaji, parametry...) a každá taková nepolohová úloha v sobě nutně skrývá právě tři úlohy polohové, protože při konstrukci musíš vždycky začít tím, že "umístíš", "specifikuješ", "konkterizujeě" jeden z těch tří parametrů.

↑ surovec:

Dobrá. Úloha "Je dána úsečka AB. Sestroj ABC, když znáš ještě velikost strany a a úhlu gama". Je polohová. Jak ji vyřešíš jako nepolohovou?

surovec napsal(a):

Vždyť jsem to popsal. Někde stranou narýsuju [mathjax]B'C'=a[/mathjax]...

... ale to jenom místo jedné polohové úlohy začínáš řešit jinou polohovou úlohu - "Je dána úsečka B'C'. Sestroj trojúhelník A'B'C' tak, aby [mathjax]B'C'=a[/mathjax]...

Prostě místo toho, abys umístil stranu c, tak jsi umístil stranu a. Místo jedné polohové úlohy řešíš úlohu jinou, ale opět polohovou...

↑ surovec:

Ale to je úplně jedno. Při řeššní původní úlohy

"Je dána úsečka AB. Sestroj ABC, když znáš ještě velikost strany a a úhlu gama"

si tu úsečku zadáváě taky sám. A taky kdekoliv. A je polohová.

↑ Eratosthenes:

Je potřeba tedy definovat co je přesně myšleno tou indicencí.

Např. jsou následující úlohy indidenční (a proč)?

1. Sestrojte trojúhelník, jestliže je dána jeho strana BC a délka stran b,c. (Ostatně - jak bude to b,c zadáno - předpokládám jako délka nějakých úseček.)

2. Je dán obdélník D. Sestrijte čteverc, jehož obsah je shodný s obsahem čtverce D.

3. Sestrojte kružnici o poloměru r, která má neprázdný průnik s danou kužnicí k.

4. Sestrojte trojúhelník, který je stejnolehlý s daným trojúhelníkem T, střed stejnolehlosti je daný bod S a koeficient stejnolehlosti je 2.

Eratosthenes napsal(a):

surovec napsal(a):

Vždyť jsem to popsal. Někde stranou narýsuju [mathjax]B'C'=a[/mathjax]...

... ale to jenom místo jedné polohové úlohy začínáš řešit jinou polohovou úlohu - "Je dána úsečka B'C'. Sestroj trojúhelník A'B'C' tak, aby [mathjax]B'C'=a[/mathjax]...

Prostě místo toho, abys umístil stranu c, tak jsi umístil stranu a. Místo jedné polohové úlohy řešíš úlohu jinou, ale opět polohovou...

Ale to, že si někam umístím stranu a přece ještě neznamená, že řeším polohovou úlohu. Ano, polohová úloha by tak taky řešit šla, ale stejně tak lze takto řešit i úloha nepolohová. A vlastně asi každou úlohu budu řešit tak, že si "něco někam umístím" - i úlohu, kdy jsou dány délky stran a,b,c trojúhelníka, který chceme sestrojit, začnu řešit tak, že si někam umístím řekněme stranu a...

↑ check_drummer:

>> Je potřeba tedy definovat co je přesně myšleno tou indicencí.

Incidence bodů, přímek a rovin není třeba definovat, je dána axiomaticky - viz např.

zde, str. 6

Incidence těchto útvarů se běžně překládá "něco leží na něčem", "něco prochází něčím".

V množinovém pojetí geometrie lze incidenci chápat jako existenci alespoň jednoho společného bodu, tj. dva útvary spolu incidují právě tehdy, když mají neprázdný průnik.
   
>> Ale to, že si někam umístím stranu a přece ještě neznamená,, že řeším polohovou úlohu.

Právě že znamená. Úlohu totiž začals řešit tak, že jsi umístil (zadal) část útvaru.

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

Právě že znamená. Úlohu totiž začals řešit tak, že jsi umístil (zadal) část útvaru.

Jak potom vyřešíš tuto nepolohovou úlohu: Jsou dány délky stran a,b,c trojúhelníka. Sestrojte tento trojúhelník.

Eratosthenes napsal(a):

↑ surovec:

A u nepolohové úlohy je povoleno vše, kromě jediného - na začátku si zvolit prvek útvaru a zadat jeho polohu.

Každou konstrukci ale takto začít musíš. I nepolohovou úlohu: Sestrojite úsečku AB o délce x začnu tak, že si zvolím bod A...

Mícháš dohromady zadání úlohy a postup jejího řešení. To jsou dvě odlišné věci.

↑ check_drummer:

Vidím, že's mě zasypal otázkami jako vulkán. Pokusím se vyhrabat (tj. na všechno odpovědět), ale nevím, kdy se k tomu dostanu. Zrovna dnes mám totiž dost fofr...