Matematické Fórum

↑ jáchym16:
Ahoj, mám upřesňující dotaz. Řešení můžeme hledat:
1) Jen na úsečce mezi středem Země a Slunce
2) Na přímce Země - Slunce
3) V celém prostoru

Ale v zadání nevidím, co se požaduje. Pokud nic, tak bych čekal, že bod 3), ale to mi zas nesedí s uevdeným řešením.

Já teda nevím, ale zadání mi přijde celkem jasné. Má se jednat o body, kde se "vyrovnají gravitační síly", tj. kde mají opačný směr a stejnou velikost. I když to budeme řešit v celém prostoru, stejně nemohou mít opačný směr jinde než na spojnici středů.

Zadání mluví jen o rovnováze gravitačních sil, takže žádné ty "odstředivé síly" se nemají brát do úvahy. Nehledáme těleso, které by v nějakém bodě zaujmulo stabilní stav, hledáme jen místo, kde dojde k rovnováze těch gravitačních sil.

Newtonovy gravitační síly se šíří nekonečně rychle, takže vzájemný oběh Země a Slunce nemusíme brát v úvahu (v tomto zjednodušeném pohledu).

Také lze ukázat (i když to není úplně triviální), že gravitační síla vyvolaná sféricky symetrickým tělesem je stejná jako gravitační síla vyvolaná hmotným bodem stejné hmotnosti. Platí to tedy jen nad povrchem toho tělesa.

Takže to nemůže být jinak, než napsal ↑ Jj:, pokud tedy ta vzdálenost vychází nad povrchem Země (což je asi splněno). A intuitivně bych řekl, že když je hmotnost Země menší než miliontina hmotnosti slunce, tak by se ten bod měl nacházet někde blízko Země.


Tu rovnici rovnováhy můžeme upravit do trochu srozumitelnějšího tvaru,


[mathjax]\displaystyle \frac{κ\cdot m}{x²}=\frac{κ\cdot M}{(d-x)²}[/mathjax]


[mathjax]\displaystyle \frac{ m}{x²}=\frac{ M}{y²}[/mathjax]

[mathjax]\sqrt{\frac{M}{m}}=\frac{y}{x}[/mathjax]

Tedy že poměr těch vzdáleností (ke Slunci a k Zemi) odpovídá odmocnině poměru hmotností. Samozřejmě, pokud to chceme spočítat, musíme ještě doplnit, že x+y = d, celková vzdálenost Země-Slunce. Ale že to musí být 1000x blíž k Zemi než ke Slunci je jasné i bez toho. Poměr hmotností Země a Slunce je zhruba milion.

↑ jáchym16:
Nechceš sem hodit ten postup, jak jsi přišel na vzdálenosti v řádu desítek milionů kilometrů?

To počítáš ale blbě. Spočítáš jakou silou na sebe působí Země a Slunce, a pak hledáš, při jaké vzdálenosti by ta síla byla poloviční.

↑ MichalAld:
Pravda, zajímá nás i směr síly a ne jen velikost.