Matematické Fórum

↑ Yarda H.:

>> ... nicméně je na první pohled vidět, že by měla vycházet 0...

A proč by měla? Součet "nekonečně mnoha nekonečně malých čísel" může obecně vycházet naprosto jakkoliv.  Například každý Riemannův integrál je součtem nekonečně mnoha nekonečně tenkých obdélníků. A vycházejí všechny ty integrály nula? Takový integrál by asi byl k ničemu....

↑ Yarda H.:

Zdravím, nejprve je potřeba definovat co se myslí výrazem:

[mathjax]\\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\cdots[/mathjax]

↑ check_drummer:
A ty myslíš, že já znám nějakou definici? Moje představa o matematice je dost intuitivní...

Tuhlevá jsem zjistil, že ani nevím, jak je definována množina reálných čísel.

Díky všem za reakce, pomohlo mi to minimálně si uvědomit, že jsem studentům v přímé reakci na aktuální dotaz v hodině bez většího přemýšlení přistoupil na trochu nesmyslnou hru... Po příspěvcích všech zejména check_drummera jsem si uvědomil, že rovnost:

[mathjax]\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^{2}}
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\cdots
[/mathjax]

není vůbec správná, protože není založená na na správné úvaze, pokud jde o počet sčítaných členů (coby konkrétním n-tém  členu posloupnosti, jejíž limita se počítá). Na tuto úvahu mne nasměrovala již úvaha o limitě dvou proměnných...

Správná by totiž měla být rovnost:

[mathjax]\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^{2}}
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\cdots +\frac{n}{n^{2}}
[/mathjax]

Tato rovnost popisuje, že limita první posloupnosti je rovna limitě jiné poslounosti (stejné), jejíž n-tý člen je vyjádřen pomocí součtu n-členů... Tudíž nelze asi předpokládat, že by limita na pravé straně obsahovala v daný okamžik nekonečně mnoho členů (což bylo v předchozím příspěvku naznačeno pomocí tří teček...). V každém okamžiku obsahuje totiž pouze součet n členů, přičemž se n limitně blíží k nekonečnu...

Pokud tedy budeme uvažovat rovnost limit:

[mathjax]\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^{2}}
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\cdots +\frac{n}{n^{2}}
[/mathjax],

pak je jasné, že součet n členů v pravé limitě půjde převést na společného jmenovatele a tudíž by výsledky měly být stejné... Vzhledem k tomu, že počet členů (sčítanců) v limitě na pravé straně se blíží nekonečnu, není možné využít větu o tom, že limita součtu posloupností je rovna součtu limit posloupností (což by na pravé straně dalo právě tu nulu, kterou studenti uvažovali)... Celá potíž je tudíž v tom, že na pravé straně je "neurčitý  výraz", který je nutné pomocí úprav převést na posloupnost, jejíž limita lze již spočítat...

Díky všem za to, že jsem si v tom mohl udělat na základě vašich reakcí trochu ve vlastní hlavě pořádek...
Pěkné matematické vánoční dny...

PS: pokud by měl někdo pocit, že moje vyjádření není správné, prosím o nějakou korekci..
Díky
Yarda

Yarda H. napsal(a):

Celá potíž je tudíž v tom, že na pravé straně je "neurčitý  výraz"

Je to tak, ale vůbec to nepatří do uvozovek, protože na pravé straně opravdu vyjde [mathjax]\infty \cdot 0[/mathjax], takže je potřeba ten výraz upravit. A pokud sečtu tu řadu jako [mathjax](\frac{1}{n^2}+\frac{n}{n^2})\cdot \frac{n}{2}[/mathjax], vyjde mi [mathjax]\frac{1+n}{2n}[/mathjax], což dá v nekonečnu [mathjax]\frac{1}{2}[/mathjax], stejně jako když upravím ten původní výraz.