Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 17. 01. 2023 19:53
Vzdálenost bodu od přímky
Dobrý den, prosím o radu s tímto příkladem:
Napište rovnici přímky, která prochází bodem A = [4, -3] a leží ve vzdálenosti 4 od počátku soustavy souřadnic.
Mám vzorec
[mathjax]v=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/mathjax]
x0, y0 je bod. A, b, c jsou hodnoty z přímky.
Pokud dosadím souřadnice bodu A do přímky, získám 4a-3b+c=0.
Nevím, kolik je tedy a, b ani c.
Mohu dosadit do rovnice pro výpočet vzdálenosti
[mathjax]4=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/mathjax]
Tak ale dostanu 2 rovnice o 3 neznámých, které řešit neumím.
Hledala jsem řešení i na internetu. Radili, abychom na řešení šli přes kružnici. Tu ale ještě neumíme.
Děkuji za odpověď.
Offline
#2 17. 01. 2023 20:01 — Editoval Eratosthenes (17. 01. 2023 20:01)
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2590
- Reputace: 132
Re: Vzdálenost bodu od přímky
↑ Johana16:
Což použít vektorový součin vektorů?
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#3 17. 01. 2023 20:23
Re: Vzdálenost bodu od přímky
↑ Johana16:
Zdravím,
je možné i zvolit bod M[x, y] na hledané přímce, který je průsečíkem této přímky a kolmice k ní, která prochází bodem O[0, 0]. Platí: vektor AM je kolmý na vektor MO a velikost MO je rovná 4. Měla bys získat dvě rovnice pro neznámé x, y.
Offline
#4 17. 01. 2023 20:23
Re: Vzdálenost bodu od přímky
Asi budu potřebovat ještě poradit.
Chápu, že hledaná přímka a přímka OP (kde P je pata kolmice - přímky vedené z počátku na přímku 4a-3b+c=0) mají být k sobě kolmé. Tudíž vektorový součin musí být roven nule. Ale z přímky 4a-3b+c=0 je dán vektor (a,b) - 2 neznámé a jak získám vektor přímky OP?
Offline
#5 17. 01. 2023 20:29
Re: Vzdálenost bodu od přímky
↑ Al1:
vektor AM = (x-4;y+3)
vektor OM = (x;y)
Když jsou k sobě kolmé, tak musí platit
x(x-4)+y(y+3)=0 tedy x^2-4x+y^2+3y=0
Druhá rovnice:
Vzdálenost bodů MO:
[mathjax]4=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
[/mathjax]
Po úpravě: [mathjax]16=x^{2}+y^{2}[/mathjax]
Jak mám prosím vyřešit tuto soustavu?
Offline
#8 17. 01. 2023 20:41 — Editoval Al1 (19. 01. 2023 12:02)
Re: Vzdálenost bodu od přímky
↑ Johana16:
Ano. A teď máš bod A a M hledané přímky takže ...
A nevychází jedno řešení [mathjax]y=-\frac{96}{25}[/mathjax]?
Offline
#9 17. 01. 2023 20:53 — Editoval gadgetka (17. 01. 2023 20:56)
Re: Vzdálenost bodu od přímky
Omlouvám se, měla jsem delší dobu otevřenou rozepsanou odpověď, která už není aktuální. :)
Nejsem učitelka, proto matematiku neučím, ale přímo ji řeším...
Offline
#10 18. 01. 2023 10:58
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1053
- Reputace: 18
- Web
Re: Vzdálenost bodu od přímky
↑ Johana16:
Pokud přímka prochází bodem A=[4;-3], má rovnici: y+3=k*(x-4)
Převeď to na obecný tvar a dosaď do vzorce, to pomůže.
Offline
#11 19. 01. 2023 12:08
Re: Vzdálenost bodu od přímky
↑ Johana16:
Pokud bys chtěla postup pomocí kružnice, tak ten je v podstatě obsažen v mnou navrženém postupu. Hledali bychom body vzdálené 4 jednotky od bodu [0; 0] - to je kružnice se středem
[0; 0] a poloměrem 4 a s rovnicí [mathjax]x^{2}+y^{2}=16[/mathjax] a hledané přímky jsou tečny k této kružniciprocházející bodem A. Jednu tečnu objevíme hned z náčrtku, to je přímka x=4. Nicméně výpočet byl takový, že bychom hledali tzv. poláru a její průsečíky s danou kružnicí - to jsou body dotyku obou tečen. No a ta polára má rovnici 4x-3y-16=0 a s ní jsme také pracovali.
Offline