Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 01. 03. 2023 22:18
Diskriminant kubické rovnice
Potřebuji pomoct s vysvětlením postupu určení diskriminantu kubické rovnice. Mám zapsány vzorový příklad, nechápu ale mezikroky.
Rovnice: x³ + px + q = 0, p,q € R, určete diskriminant D_3
Diskriminant D_3 = [(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)]², x_1, x_2 a x_3 jsou kořeny rovnice
K výpočtu diskriminantu se dále použijí součty k-tých mocnin a vyjde, že:
D_3 = 3s_2s_4 + 2s_1s_2s_3 - s_2³ - 3s_3² - s_1²s_4
Nechápu jakým způsobem se k tomu došlo. Je pro to nějaký vzoreček který mi uniká?
Dále se použijí Vietovy vzorce a Newtonovy rekurentní vzorce a platí:
Sigma_1 = 0, Sigma _2 = p, Sigma_3 = -q ... Jak se na tyto hodnoty přišlo? Musím si to zapamatovat?
Děkuji předem za pomoc, omlouvám se za způsob zápisu, post píšu přes telefon. Bližší info kdyžtak dodám.
Offline
#2 01. 10. 2023 14:03
Re: Diskriminant kubické rovnice
↑ Milanyx:
Sice nevím o co ti jde, ale
pro kubickou rovnici [mathjax]x^{3}+px+q=0[/mathjax]
je diskriminant [mathjax]D=\frac{p^{3}}{27}+\frac{q^{2}}{4}[/mathjax]
Offline
#3 01. 10. 2023 21:18 — Editoval surovec (01. 10. 2023 21:18)
Re: Diskriminant kubické rovnice
↑ Milanyx:
Ty sigmy máš proto, že jde o redukovanou kubickou rovnici, tzn. bez kvadratického členu. Tudíž kvadratický člen má koeficient 0, lineární p, absolutní q.
Podle definice z kořenů by ti mělo vyjít [mathjax]-4p^3-27q^2[/mathjax], v Cardanově vzorci se pak objevuje -108násobek tohoto diskriminantu, jak píše Honzc.
Offline
#4 02. 10. 2023 18:12
- check_drummer
- Příspěvky: 4892
- Reputace: 105
Re: Diskriminant kubické rovnice
↑ Milanyx:
Ahoj, jestli to vidím dobře, tak diskriminant je symetrická funkce kořenů polynomu. Tedy je možné ho vyjádřit pomocí koeficientů toho polynomu. A teď jde o to najít toto vyjádření. Asi nejjednodušší bude si ten výraz diskriminantu roznásobit a sdružit k sobě vhodné výrazy a získat tak dílčí podvýrazy, které jsou rovněž symetrické.
A nebo použít přímo vzoreček, ale nevím jestli ti to vyučující uzná, protože podle mě toto cvičení není na aplikaci vzorečku, ale na práci se symetrickými polynomy.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Online