Matematické Fórum

simonaj1 · 02. 07. 2009 06:53

mohl by se mi prosím někdo pokusit vysvětlit posloupnosti... nějak nemůžu vyčíst nikde ten správný návod, který bych aplikovala na jejich nekonečný rozvoj, tak abych je mohla zapsat funkčním vzorcem, použitelným pro výpočet limit...

1/ to, že nekonečná řada (1+2+3+....n) je to samé jako (n/2)(1+n) tj. že polovinu členů nekonečna vynásobím součetem prvního a posledního členu)... to jsem zvládla odvodit i sama

2/ to, že ((1^2)+(2^2)+(3^2)+...+(n^2)) je to samé jako (n/6)(n+1)(2n+1)... to jsem si přečetla, funguje to, ale nevím jak se k tomu došlo

3/ no a nakonec (((1^2)+(3^2)+...+((2n-1)^2))... tak k tomu nemám ani funkční vzorec... a už vůbec netuším jak se k tomu dojde:-)

ani nevím jestli existuje nějaký postup, který by byl aplikovatelný na všechny posloupnosti... prosím, můžete mi někdo poradit?

musixx · 02. 07. 2009 08:09

Když to řeknu ne příliš matematicky pro víceméně začátečníka: Může tě uklidnit, že žádný takový univerzální "vzorec" není a uvedené posloupnosti jsou jedny z mála, kde se takový "vzorec" dá najít přímo. V této souvislosti se pak ještě objevují příklady typu, že někdo ti tento vzorec dá a ty jen máš ověřit jeho správnost - typicky matematickou indukcí.

simonaj1 · 02. 07. 2009 08:29

↑ musixx:
dobrá... a nevíš kde se dá tedy najít vzorec k tomu 3. případu? zatím jsem to nikde neobjevila...asi hledám špatně

musixx · 02. 07. 2009 08:51

"Pár vzorečků" je třeba na této stránce, ale ten tvůj případ 3. zrovna bohužel ne.

simonaj1 · 02. 07. 2009 08:54

↑ musixx:
a čistě náhodou... nevěděl bys jak se k němu dopočítat? ... nebo někdo jiný?

musixx · 02. 07. 2009 08:58 — Editoval musixx (02. 07. 2009 09:11)

Pro predhlednost budu pouzivat hranate zavorky také pouze pro uzavorkovani. Jde o "dvojité použití" rovnosti 2.

$1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\left[1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+(2n-1)^2\right]-\left[2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n-2)^2\right]$

$1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+(2n-1)^2=\frac16[2n-1][(2n-1)+1][(2(2n-1)+1]$

$2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n-2)^2=(2\cdot1)^2+(2\cdot2)^2+(2\cdot3)^2+\cdots+(2\cdot(n-1))^2=4\cdot\left(1^2+2^2+3^3+\cdots+(n-1)^2\right)=4\cdot\left(\frac16[n-1][(n-1)+1][2(n-1)+1]\right)$

Secteno a upraveno to da $\frac13n(2n-1)(2n+1)$ :

$\frac16[2n-1][(2n-1)+1][(2(2n-1)+1]-4\cdot\left(\frac16[n-1][(n-1)+1][2(n-1)+1]\right)=$
$\frac13(2n-1)n(4n-1)-\frac23(n-1)n(2n-1)=$
$\frac13n(2n-1)\cdot\left((4n-1)-2(n-1)\right)=\frac13n(2n-1)(2n+1)$

jelena · 02. 07. 2009 09:11

↑ simonaj1:

Když se mi opravdu nechce (teď se mi velmi moc nechce) uvažovat, jak to vznikne, tak si sepiši začátek řády čísel, co hledám (v tvém případě to je už řáda součtů) a pošlu to sem. Je potřeba si ověřit, zda ten vzorec, co jsem našla, co jsem našla, je skutečně moje řada. Když to udělám vícekrát, tak už mám hodně řad okoukáno a něco se mí vybaví.

↑ musixx: hezký pozdrav :-) pravě jsem psala tento příspěvek a vidím, že je vyřešeno - jsem tedy jediná, komu se absolutně nechce? Ale musím sníst tuňáka, tak už abych šla...

simonaj1 · 02. 07. 2009 09:32

↑ musixx:
panebože... a ví doma o tom, že jsi génius:-) díky

Rumburak · 02. 07. 2009 10:09

↑ simonaj1:
Ahoj, měl jsem za to, že odvození vzorce z bodu (2) jsme aspoň rámcově vyřešili zde:

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=10003

(dokončil Jarro). Pokud tam zbyla nějaká nejasnost (napiš jaká), pokusím se rozebrat to podrobněji.

simonaj1 · 02. 07. 2009 11:31

↑ Rumburak:
nejasnost? promiň jsem na tuhle vyšší matiku trochu natvrdlá, ale když mi nenapíšeš, co jsi s čím provedl, tak to z následného zápisu prostě dohromady neposkládám... tj... když mi někam pod čáru dáš teď celé násobím např. 1/n, tak já si stejně celé to roznásobení a pokrácení musím rozepsat, protože to prostě v hlavě jako obrázek nemám... takže jednou větou, celé to pro mě byla španělská vesnice:-(

Rumburak

↑ simonaj1:
Tak to je mi líto. Já samozřejmě netuším, kde potřebuješ podrobné vysvětlení a kde stačí jen "naťuknout".
Většinou začínám tím, že tazatele nasměruji, což v mnoha případech stačí, a podrobněji to pak rozepíši,
až když se dotyčný ozve s doplňujícím dotazem. Předpokládám totiž, možná naivně, že se tazatel chce něco přiučit,
a k tomu je dobré (vím to z vlastní zkušenosti), aby aktivně spolupracoval - třeba tím, že se sám pokusí poprat
se s detaily, jako např. něco rozepsat, sestavit rovnici, vyřešit ji, upravit výraz atd., nebo se o to aspoň pokusí,
případně zformuluje dílčí otázku - nechci ho o tuto příležitost okrádat (neochota z mé strany v tom tedy není).
Ale uzávám, že někomu snad lépe vyhovuje jiný přístup. Takže se případně ptej na podrobnosti ...

simonaj1 · 02. 07. 2009 14:58

↑ Rumburak:
myslím, že z mé strany v tom snad není neochota, neboť se snažím vše poctivě spočítat, and touto posloupností jsem strávila dobré dva dny, kdy jsem ještě v noci znovu vstávala z postele a zkoušela co mě při usínání napadlo, abych to do rána nezapomněla, ale bohužel se snažím nastudovat vysokoškolskou matiku bez středoškolské, kterou jsem měla v omezeném rozsahu pro nematurující z matematiky a to ještě před hodně dlouhou dobou... takže souvislosti vážně hodně unikají... nechtěla jsem se tě rozhodně dotknout tím, že bych tě obcházela, pouze jsem dotaz formulovala trochu jinak v novém tématu a tam jsem v návaznosti na reakci zas reagovala já, určitě jsem tím nechtěla vzbudit dojem, že jsi se mému problému včera věnoval zbytečně... díky za tvou snahu mi pomoct, žasnu nad tím, co vše jste schopni si představit, aniž byste si to museli psát:-) a to jsem zatím jen u limit jdoucích k nekonečnu... nevím co bude až se propracují k integrálům a praktickým aplikacím... určitě teď budu další dva měsíce, které se budu připravovat na zkoušku, hodně přispívat svými dotazy v tomto fóru, bohužel se mi totiž zatím nepodařilo tady u nás sehnat na prázdniny doučování...

Rumburak · 02. 07. 2009 16:07

↑ simonaj1:
OK. Tvůj opkovaný dotaz na jiném vlákně se mne nijak nedotkl, ale určitě mne přakvapil, neboť do té doby jsem opravdu měl dojem,
že tím posledním příspěvkem, který doplnil jarrro, bylo vše zodpovězeno ku Tvé spokojenosti.

Metoda studovat matematický problém či matematiku samu "tužkou a papírem" je správná a myslím, že si tak počíná každý, kdo bere
takové studium vážně. Snahou formulovat určitý výrok písemně se posíluje proces jeho uvědomění. Znal jsem významného profesionálního
matematika, který byl nevidomý, nicméně i on si prováděl pomocné výpočty na papíře (a občas i na stůl vedle papíru, aniž by tuto skutečnost
vůbec zjistil), přestože takový zápis byl naprosto nečitelný jak pro něho, tak i pro ostatní.

Kvalitní učební text je při studiu samozřejmě předpokladem, může jím být i pečlivě zapsaná přednáška, pokud ovšem byla dobře podána.

simonaj1 · 02. 07. 2009 21:44

↑ Rumburak:
přednáška? jako dálkařka se ptám co to je... máme 4x 2hodiny konzultací za semestr, na nichž se nám dostalo hromady nevysvětlené teorie, přičemž cvičení nemáme žádná:-/ to holt pak člověk hodně pokulhává... i když já si spíš připadám jako Meresjev:-D

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2009 06:53

posloupnosti ještě jednou

#2 02. 07. 2009 08:09

Re: posloupnosti ještě jednou

#3 02. 07. 2009 08:29

Re: posloupnosti ještě jednou

#4 02. 07. 2009 08:51

Re: posloupnosti ještě jednou

#5 02. 07. 2009 08:54

Re: posloupnosti ještě jednou

#6 02. 07. 2009 08:58 — Editoval musixx (02. 07. 2009 09:11)

Re: posloupnosti ještě jednou

#7 02. 07. 2009 09:11

Re: posloupnosti ještě jednou

#8 02. 07. 2009 09:32

Re: posloupnosti ještě jednou

#9 02. 07. 2009 10:09

Re: posloupnosti ještě jednou

#10 02. 07. 2009 11:31

Re: posloupnosti ještě jednou

#11 02. 07. 2009 14:03 — Editoval Rumburak (02. 07. 2009 14:16)

Re: posloupnosti ještě jednou

#12 02. 07. 2009 14:58

Re: posloupnosti ještě jednou

#13 02. 07. 2009 16:07

Re: posloupnosti ještě jednou

#14 02. 07. 2009 21:44

Re: posloupnosti ještě jednou

Zápatí