Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 10. 03. 2023 22:57 — Editoval polky (10. 03. 2023 23:10)
Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
Ahoj, potřeboval bych pomoct s touto rovnicí.
Zadání zní:
Určete parametr a tak, aby rovnice 9x^{2}-6ax+9a=0
(s neznámou x) měla dva různé kladné kořeny.
Řešení je: a\in (9, +nekonečno)
Můj problém:
Princip a postup chápu, ale na konci když se porovnávají kořeny x1,x2 tak nechápu který interval bych si měl vybrat. A doplnit tak původní interval a\in (-nekonečno, 0)\bigcup_{}^{}(9, +nekonečno). Z obou nerovnic vyjde jiný výsledek.
9x^{2}-6ax+9a=0 /:9
x^{2}-\frac{2}{3}ax+a=0
D=\frac{4}{9}a^{2}-4a>0
4a^{2}-36a>0
4a*(a-9a)>0
a*(a-9a)>0 \Rightarrow a\in (-nekonečno, 0)\bigcup_{}^{}(9, +nekonečno).
x_{1,2}=\frac{\frac{2}{3}a\pm(\frac{4}{9}a^{2}-4a)^{\frac{1}{2}}}{2}>0
x_{1}=\frac{\frac{2}{3}a+(\frac{4}{9}a^{2}-4a)^{\frac{1}{2}}}{2} \Rightarrow a<0
x_{2}=\frac{\frac{2}{3}a-(\frac{4}{9}a^{2}-4a)^{\frac{1}{2}}}{2} \Rightarrow a>0
Děkuju.
Offline
#2 11. 03. 2023 13:34 — Editoval vlado_bb (11. 03. 2023 13:34)
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
↑ polky:Prosim pouzivaj LaTeX, toto naozaj asi nie je nikto ochotny citat, zrejme preto sa nikto neozval, aj ked ide o jednoduchu ulohu. Zrejme si sa dostal k tomu, ze ak ma rovnica mat dve lubovolne rozne realne riesenia, musi byt [mathjax]a \in (-\infty, 0) \cup (9, \infty)[/mathjax]. Ak si tie riesenia napises, tak uvidis, ze v pripade [mathjax] a<0[/mathjax] je minimalne jedno zaporne, v pripade [mathjax] a>9 [/mathjax] su obe kladne.
Offline
#4 11. 03. 2023 14:26
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
Při psaní v latexovém okně musíš pak buď použít to tlačítko "zkopírovat do pole vlevo", nebo to ručně ohraničit příslušnými symboly "[mathjax][/mathjax]", což je samozřejmě práce navíc, ale možné to je.
Ale zkontroluj si, jestli je to to, co jsi zamýšlel.
[mathjax]9x^{2}-6ax+9a=0 /:9[/mathjax]
[mathjax]x^{2}-\frac{2}{3}ax+a=0[/mathjax]
[mathjax]D=\frac{4}{9}a^{2}-4a>0[/mathjax]
[mathjax]4a^{2}-36a>0[/mathjax]
[mathjax]4a*(a-9a)>0[/mathjax]
[mathjax]a*(a-9a)>0 \Rightarrow a\in (-nekonečno, 0)\bigcup_{}^{}(9, +nekonečno).[/mathjax]
[mathjax]x_{1,2}=\frac{\frac{2}{3}a\pm(\frac{4}{9}a^{2}-4a)^{\frac{1}{2}}}{2}>0[/mathjax]
[mathjax]x_{1}=\frac{\frac{2}{3}a+(\frac{4}{9}a^{2}-4a)^{\frac{1}{2}}}{2} \Rightarrow a<0[/mathjax]
[mathjax]x_{2}=\frac{\frac{2}{3}a-(\frac{4}{9}a^{2}-4a)^{\frac{1}{2}}}{2} \Rightarrow a>0[/mathjax]
Offline
#5 11. 03. 2023 14:32
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
Aby měla rovnice dva různé kořeny, musí být determinant větší než nula. Teď ale koukám, že tam máš asi chybu...
[mathjax]4a^{2}-36a>0[/mathjax]
Tohle je ještě správně, ale potom to nemá být
[mathjax]4a*(a-9a)>0[/mathjax]
ale jen
[mathjax]4a*(a-9)>0[/mathjax]
Z toho tedy plyne, že buď "a" i "a-9" musejí být větší než nula, nebo musí být obojí menší než nula, aby celkový součin byl větší než nula. Tedy to
[mathjax] a\in (-\infty, 0)\bigcup_{}^{}(9, +\infty).[/mathjax]
Jenže to ještě není všechno, tohle nám zaručuje jen to, že má rovnice dva různé reálné kořeny. Ale nezaručuje to, že jsou kladné.
Offline
#6 11. 03. 2023 14:33
- marnes
- Příspěvky: 11227
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
↑ polky:
K výběru správného intervalu můžeš využít i znalostí o lineárním a absolutním členu. Pokud mají být oba kořeny kladné, tak LČ musí být záporný a AČ kladný.
Kdyby tedy parametr a byl záporný, pak by to neplatilo. Pro parametr větší jak 9 je splněno.
Jo. A na začátku vás zdravím.
Offline
#7 11. 03. 2023 14:42
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
↑ MichalAld: Jasně. Děkuji, já dával jen ctrlC+ctrlV. Ano máte pravdu, přepsal jsem se.
Offline
#8 11. 03. 2023 14:49
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
↑ marnes: Když nebudu využívat tuto vlastnost. Tak jak poznám jaký výsledek použít z tich kořenů? Já to nemohu nějak pobrat. Mám obdobný problém i u jiných příkladů co jsem počítal, tam například chtěli, aby kořeny byly menší než třeba 1. Z toho výsledku mi pak vyšel jeden kořen je větší jak 5, druhý menší jak 5..
Offline
#11 11. 03. 2023 15:01 — Editoval MichalAld (11. 03. 2023 15:12)
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
Kladnost kořenů lze taky asi odvodit přímo z těch vztahů pro výpočet kořenů, co máš na konci, ale přijde mi to dost složité. Jednodušší podle mě je najít takové a, pro které bude jeden kořen nulový. Což nastane v situaci, kdy poslední (lineární) člen rovnice bude nulový.
Tedy rovnice typu [mathjax]kx^2 + lx =x(kx+l)= 0[/mathjax] má jeden kořen nulový (nevím už, jaká používat písmenka, aby se to moc nepletlo).
Což pro tvůj případ znamená, že k tomu dojde když a = 0.
Ovšem, z toho zároveň plyne, že když bude a=0, bude nulový nejen třetí člen tvé rovnice, ale i ten druhý ...
z tvé rovnice
[mathjax]9x^{2}-6ax+9a=0[/mathjax]
tudíž zůstane jen
[mathjax]9x^{2}=0[/mathjax]
To nevěští nic dobrého, protože tím pádem jsou nulové oba dva ty kořeny.
No, teď je asi nejlepší se vrátit zase na začátek, ke tvým vztahům pro výpočet kořenů, tedy:
[mathjax]x_{1}=\frac{\frac{2}{3}a+\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}-4a}}{2}[/mathjax]
[mathjax]x_{2}=\frac{\frac{2}{3}a-\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}-4a}}{2}[/mathjax]
a bádat nad tím, jak se bude jejich hodnota měnit se změnou toho "a". Hned je vidět, že pro a=0 vychází oba kořeny nulové.
Takže zbývá posoudit, jestli ten výraz pod odmocninou bude větší nebo menší než ten člen před ní. Nepřijde mi to úlně triviální posoudit, ale pro velká kladná a bude výraz pod odmocninou skoro stejný jako ten před ní, ale o malinko menší. Tudíž pro velká a budou oba kořeny kladné. A mělo by to platit pro všechna a > 9, ale jak to přesně dokázat...
Klíčový je ten druhý kořen, první bude kladný vždycky.
Pro velká záporná a je jasné, že druhý kořen bude vždycky záporný, protože odmocnina je vždycky kladná, takže se tím nemusíme zabývat.
Offline
#12 11. 03. 2023 15:29
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
Ještě přemýšlím, jestli dokázat, že
[mathjax]\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}-4a} < \frac{2}{3}a [/mathjax]
jde jen tak, že to umocníme, tedy
[mathjax]\frac{4}{9}a^{2}-4a < \frac{4}{9}a^2 [/mathjax]
a tedy, že
[mathjax]-4a < 0 [/mathjax]
Musíme brát v úvahu ty věci se znaménky, ale protože nás zajímá jen případ a > 9 mělo by to tak být.
Offline
#13 11. 03. 2023 16:15
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
MichalAld napsal(a):
Ještě přemýšlím, jestli dokázat, že
[mathjax]\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}-4a} < \frac{2}{3}a [/mathjax]
jde jen tak, že to umocníme, tedy
[mathjax]\frac{4}{9}a^{2}-4a < \frac{4}{9}a^2 [/mathjax]
a tedy, že
[mathjax]-4a < 0 [/mathjax]
Musíme brát v úvahu ty věci se znaménky, ale protože nás zajímá jen případ a > 9 mělo by to tak být.
Ahoj,
v tomto případě je to v pohodě.
Fce [mathjax]y=x^{2}[/mathjax] je rostoucí pro nezáporná x. Jelikož předpokládáme, že nerovnost platí a [mathjax]0<=\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}-4a} [/mathjax], tak jsme hotovi.
Offline
#14 11. 03. 2023 19:24
- check_drummer
- Příspěvky: 5559
- Reputace: 106
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
MichalAld napsal(a):
Aby měla rovnice dva různé kořeny, musí být determinant větší než nula.
Zpravidla se nazývá diskriminant. Ale je pravda že je to determinant jisté matice.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#15 11. 03. 2023 20:10
Re: Kvadratická rovnice s parametrem 9x2 − 6ax + 9a = 0
↑ check_drummer:
V první chvíli jsem si myslel, že problém budou ty "dva různé kořeny", protože jsem zapoměl dodat "reálné". No jo, se mnou už to asi lepší nebude...
Po pravdě mě trochu zaskočilo, jak komplikované je zjistit, kdy jsou oba kořeny kladné...
Offline