Matematické Fórum

↑ ekonomos629:
Toto lemma vyjadřuje základní větu algebry, že polynom n-tého stupně s komplexními koeficienty má n komplexních kořenů, počítáme-li každý tolikrát, kolika je násobný. Jinými slovy: Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené.
Platí tvrzení: Je-li alfa kořen polynomu f(x), pak ho lze vyjádřit f(x)=(x-alfa)*g(x), kde g(x) je polynom, jehož stupeň je o 1 nižší než stupeň polynomu f(x).
Více je na mém webu  www.tucekweb.info, sekce matematika

Jinak myslím, že běžně používaná formulace té základní věty algebry je, že každý polynom má alespoň jeden kořen.

Kořen polynomu je číslo x pro které platí P(x) = 0. P(x) je ten polynom (libovolný).

Pokud takový kořen najdeme (třeba ho nazveme k0), můžeme původní polynom vydělit výrazem (x-k0), čímž dostaneme jiný polynom, o stupeň nižšího řádu. Tedy

P(x) = (x - k0) * Q(x)

Q(x) je samozřejmě taky polynom, takže dle základní věty algebry má zase alespoň jeden kořen, a postup můžeme opakovat ... takže nakonec zjistíme, že polynom stupně n má právě n kořenů (některé mohou být stejné).


Aby ta základní věta algebry platila, musíme uvažovat, že kořeny můžeme hledat v celé množině komplexních čísel. Pokud bychom se omezili jen na reálná čísla, pak to neplatí a existují polynomy, které žádné (reálné) kořeny nemají, jako třeba polynom [mathjax]P(x)=x^2+1[/mathjax].
Dále - věta tvrdí, že ty kořeny existují, ale neposkytuje nám žádný návod, jak je najít. A u polynomů stupně 5 a výše nám nezbývá, než je hledat numerickými metodami.

↑ check_drummer:
Jen zkouším, jestli někdo dává pozor...