Matematické Fórum

↑ popcorn:Ten prevod nie je v poriadku. Skus l'Hospitalovo pravidlo na povodnu limitu.

↑ popcorn:

Ahoj, jedna z vhodnych uprav je napr. tato:

[mathjax] {\displaystyle
\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}\, \sin(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}) \; = \; \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}\, (\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}) \cdot  \lim\limits_{x\to\infty} \frac {\sin(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2})}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}}
}[/mathjax]

Super, díky za nápovědu, takže celá limita bude 0? Protože mi tam vyjde:

[mathjax]\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2})=\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x})*\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}) = \infty * 0 = 0[/mathjax]

a
substituce:
[mathjax]
\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2} = x
[/mathjax]
[mathjax]
\lim_{x\to\infty}(\frac{sin(x)}{x}) = 1
[/mathjax]
a výsledek:

[mathjax]
... 0 * 1 = 0
[/mathjax]

A ještě dotaz.. ↑ vlado_bb:, ty jsi myslel tímhle "Ten prevod nie je v poriadku.", že tím převodem se nikam nedostanu nebo že ten převod je nelegální?

Protože laszky použil víceméně ten stejnej převod, akorát ještě rozšířil dvojčlenem.

A mohu tedy udělat

[mathjax]\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}))= \lim_{x\to\infty}\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+{\sqrt{x-2}}}[/mathjax]
?

Hmm, pak už nevím jak postupovat u limity:
[mathjax]\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}))[/mathjax]

↑ zdubius:Aha, v citateli nie je [mathjax]\sqrt[3]{x}[/mathjax], ale [mathjax]3\sqrt{x}[/mathjax]. V tom pripade v poriadku. Ta trojka sa zobrazuje o nieco vyssie ako x, to ma pomylilo.