Matematické Fórum

Jenže ta úloha je vlastně nesmysl.
Nelze nijak porovnat údaje pozemských hodin a hodin v raketě, pokud se nachází každé někde jinde. Jsou jen dvě možnosti, jak se z toho vymotat:

1) Raketa se nepohybuje po přímce. Jenže i když to nakonec vyjde jak to má vyjít, neplyne to ze samotné speciální teorie relativity - protože ta řeší jen inerciální soustavy, a bez dodatečných předpokladů nám neřekne, jak se mění chod hodin v raketě co se někde otočí a vrátí zpět. I když pravda je, že chod "ideálních" hodin se při otáčení rakety nezmění nijak.

2) Nebo musíme úlohu formulovat tak, že jde o rozdíl hodin v raketě a času v souřadné soustavě spojené se zemí. Což technicky znamená, že v každém bodě naší souřadné soustavy (spojené se zemí) jsou umístěny extra hodiny, a všechny jsou navzájem synchronizované (což lidsky znamená, že jdou stejně, ale v rámci teorie relativity je třeba dost pečlivě definovat, co to vlastně znamená). A potom neporovnáváme hodiny v raketě s hodinami na zemi, ale s těmi, co jsou zrovna poblíž.


Pak už je to jednoduché - pokud časový interval měřený hodinami v raketě je menší než v soustavě spojené se zemí, jako třeba [mathjax]\Delta t' = k \cdot \Delta t[/mathjax], což je teda to samé, jako [mathjax]t' = k \cdot t[/mathjax] pokud si správně zvolíme počátky (jako že oboje hodiny ukazovaly nulu, když raketa startovala ze země), tak můžeme rovnou napsat

[mathjax]t-1s = k \cdot t[/mathjax]

Což je taková hezká rovnice pro střední školy, že, vyjádřit z toho to "t"...

[mathjax]t - k \cdot t = 1s[/mathjax]

[mathjax]t (1 - k ) = 1s[/mathjax]

[mathjax]t  = \frac{1s}{1-k}[/mathjax]


A jak už zmínil kolega přede mnou, to našek "k" je ve skutečnosti [mathjax]\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/mathjax]

Takže po troše hraní dostaneme výsledek. Dokonce mi to i nějak vyšlo ... akorát teda zatím se záporným znaménkem. Takže tam má být plus 1s namísto toho mínus 1s. Důkaz už ponechávám na tazatelce.