Matematické Fórum

check_drummer

Ahoj,
na základě jiné úlohy mě napadlo:

Nechť je posloupnost an dána rekurentně jako:

$a_{n} = \sqrt{a_{n - 1}}$ (a např. a1:= $\sqrt{2}$ - edit: původně tu bylo 2, ale změněno, aby hodnota byla iracionální)

Existuje potom nějaký rekurentní předpis pro posloupnost an, který nezávisí na n a který neobsahuje odmocninu? Nebo dokonce, který obsahuje jen algebraické funkce (součet, rozdíl, součin, podíl)?
Tento předpis ovšem může záviset na více členech, ne jen na jednom ( $a_{n - 1}$ ), ovšem těchto členů musí být pevný počet (nezávislý na n).

Pokud existuje, jak je to např. pro posloupnost:
$a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} + 1}$ (a např. a1:=2)
?

osman · 10. 04. 2023 16:26

↑ check_drummer:
Ahoj, napadlo mě pěkné nekorektní řešení, které se dá ovšem bezpečně použít zhruba pro $a_{1}$ $\leq 10^{1000}$ . To se bude líbit:-)

Jestliže pro posloupnost $a_{n + 1} = \sqrt[k]{a_{n}}$ dokážeme vyjádřit člen $a_{30}$ , definujeme:

pro $n \leq 30$ vztah $a_{n - 1} = a_{n}^{k}$

pro $n \geq 30$ vztah $a_{n + 1} \approx 1$ , protože kdo by se babral s tak malými odchylkami od čísla 1...

osman · 10. 04. 2023 16:39

↑ check_drummer:
Ale teď vážně: Nemůžu skousnut formulaci

"rekurentní předpis pro posloupnost an, který nezávisí na n".

Dal bych přednost něčemu jako
"rekurentní předpis pro posloupnost an, kde n se vyskytuje jenom jako index"
nebo něco v tom smyslu.

(Nedávno jsem v muzeu viděl exponát s popisem "bumerang, který se nevrací".
Můj kamarád k tomu poznamenal, že bumerang, který se nevrací, není bumerang, ale klacek.

Rekurentní předpis pro posloupnost an, který nezávisí na n, podle mě není rekurentní předpis,
ale nejspíš konstanta, náhodná veličina nebo tak něco.)

check_drummer · 10. 04. 2023 19:49

↑ osman:
Ahoj,
přesněji jde o předpis an=F(a(n-1),a(n-2),...), kde tedy pravá strana opravdu nezávisí na n, ale jen na několika předchozích členech ak. Ale je potřeba to korektně definovat, jak říkáš.

osman · 11. 04. 2023 12:19 — Editoval osman (11. 04. 2023 12:20)

↑ check_drummer:

Nechť je posloupnost an dána rekurentně jako:

$a_{n} = \sqrt{a_{n - 1}}$ (a např. a1:=2)

Existuje potom nějaký rekurentní předpis pro posloupnost an, který nezávisí na n a který neobsahuje odmocninu? Nebo dokonce, který obsahuje jen algebraické funkce (součet, rozdíl, součin, podíl)?

Řekl bych, že obecný předpis obsahující jen součet, rozdíl, součin, podíl nelze najít, protože odmocněním můžeme dostat z racionálního čísla iracionální a to se nám s tímto aparátem nepovede.

check_drummer · 11. 04. 2023 18:05

↑ osman:
To je pravda, změním to tak, aby první člen byl iracionální. :-)

check_drummer · 11. 04. 2023 18:06

Ale asi stejně nedostaneme těmi povolenými operacemi z druhé odmocniny čtvrtou...

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2023 20:27 — Editoval check_drummer (11. 04. 2023 18:05)

Rekurentní předpis bez odmocniny

#2 10. 04. 2023 16:26

Re: Rekurentní předpis bez odmocniny

#3 10. 04. 2023 16:39

Re: Rekurentní předpis bez odmocniny

#4 10. 04. 2023 19:49

Re: Rekurentní předpis bez odmocniny

#5 11. 04. 2023 12:19 — Editoval osman (11. 04. 2023 12:20)

Re: Rekurentní předpis bez odmocniny

#6 11. 04. 2023 18:05

Re: Rekurentní předpis bez odmocniny

#7 11. 04. 2023 18:06

Re: Rekurentní předpis bez odmocniny

Zápatí