Matematické Fórum

Martin · 08. 04. 2008 16:04 — Editoval Martin (08. 04. 2008 16:04)

Ahoj,
učim se teď nekonečné řady. Cvičení s určením konvergence jsem úspěšně zvládl - http://www.fp.vslib.cz/kmd/lide/finek/MA2/CviceniL2.pdf všechny příklady jsem vypočítal. Postoupil jsem teda na další cvičení http://www.fp.vslib.cz/kmd/lide/finek/MA2/CviceniL3.pdf Jakmile je v řadách "x", nevím si rady. První příklad jsem zpočítal, ale s těma dalšíma nemůžu hnout. Jak na ty ostatní? Možná by stačilo poradit, jaké kritérium zvolit. Když dodáte nějaké další info, budu rád. Díky za pomoc.

Saturday · 08. 04. 2008 22:19

tak já vykopnu..

První řada:

$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^n$

Použijeme Cauchyho limitní kritérium pro řadu s nezápornými členy: $\lim \limits _{n \to \infty} \sqrt[n]{n\cdot |x|^n} = \lim \limits _{n \to \infty} \sqrt[n]{n} |x| = 1 \cdot |x|$

Cauchyho limitní kritérium říká, že pokud je výsledek limity < 1, pak je řada konvergentní, pokud je výsledek limity > 1, pak řada diverguje, pro body -1 a 1 je vidět, že řada diverguje, protože členy rozhodně nejdou k nule.

Snad je to dobře

Saturday

Druhá řada:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2^n (2n-1)}$

Použijeme d'Alembertovo limitní kritérium:

$\lim \limits _{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+2}}{2^{n+1} (2(n+1)-1)}}{\frac{x^{n+1}}{2^n (2n-1)}}\right| = ... = \lim \limits _{n \to \infty} \left| \frac{x \cdot (2n-1)}{2(2n+1)} \right| = \frac{1}{2} \cdot \lim \limits _{n \to \infty} \frac{2n-1}{2n+1} \cdot |x| = \frac{1}{2} \cdot |x|$

Takže dostáváš, že řada je konvergentní pro x v intervalu (-2, 2) (kvůli té 1/2)

a nyní je potřeba vyšetřit body (-2) a 2:

x = 2: po dosazeni a upraveni se dostane: $\frac{2}{2n - 1} = \frac{1}{n - \frac{1}{2}} > \frac{1}{n}$ - takže řada diverguje, protože všechny členy jsou větší než členy harmonické řady, která diverguje

x = -2: úpravami se dostaneme do tvaru: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{2}{2n-1}$

Použijeme Leibnizovo kritérium pro alternující řady - jsou splněny předpoklady a to: $\cdot \frac{2}{2n-1} \ge 0$ pro všechna n, posloupnost $\{\frac{2}{2n-1}\}$ je nerostoucí a $\lim \limits _{n \to \infty} \frac{2}{2n-1} = 0$ , tedy řada v bodě x=-2 konverguje.

... a obor konvergence je [-2, 2)

Marian · 09. 04. 2008 08:04

↑ Saturday:

Obecne je mozne pouzit Cauchy-Hadamardova vzorce, ktery dava hned polomer konvergence u prvni rady, stejne jako u druhe.

Navic ve ctvrtem radku tveho druheho prispevku je chyba. Zcela na jeho konci ma byt

$\cdots =\frac{1}{2}|x|.$

Saturday

@Marian: Diky za upozorneni, uz jsem to opravil.

Myslim, ze pro "osahani" rad je lepsi videt oba zpusoby, Cauchy-Hamarduv vzorec (http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Hadamard_theorem) nepracuje s promennou x a pak nevi videt, co se deje a proc to tak je.

EDIT:

První řada pomocí Cauchy-Hamardova vzorce (počítáme poloměr konvergence mocninné řady):

Potřebujeme spočítat r: $r = \lim \limits _{n} \inf \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$ , tedy po dosazení ( $a_n = n$ ) máme: $r = \lim \limits _{n} \inf \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1$

U druhého příkladu je to takto:

$r = \lim \limits _{n} \inf \frac{1}{\sqrt[n]{\left| \frac{1}{2^n (2n-1)} \right|}} = \lim \limits _{n} \inf 2 \cdot \sqrt[n]{2n-1} = 2$ (tedy víš, že je řada konverguje pro $x \in (-2,2)$ , je nutné však vyšetřit body -2 a 2, o kterých pomocí poloměru konvergence nemůžeš říct nic určitého.

h4ck3r001

A pomohl by mi nekdo s touto 5adou :( ... nevim jak spojit dohromady Leibnize a funkční řadu a popř. které kritérium :

$\sum_{n=1}^{\propto} (-1)^n \frac{3n}{n^2 + 1} (x+1)^n$

Marian · 02. 07. 2009 18:12

↑ h4ck3r001:
Stačí napsat
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{3n}{n^2+1}\cdot (x+1)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{n^2+1}\cdot (-x-1)^n.$
Pokud označíme z:=-x-1, máme transformovanou nekonečnou řadu ve tvaru
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{n^2+1}\cdot z^n.$
Toto je potenční řada a její poloměr konvergence najdi pomocí Cauchyova-Hadamardova vzorce. POzor na zpětnou transformaci.

h4ck3r001 · 02. 07. 2009 18:33

došel sem k výsledku: obor konvergence = (-2;0) je to správně nebo mam počítat znova??

Marian · 03. 07. 2009 12:30

Souhlasím, ale je zapotřebí sirozmyslet ještě krajní body intervalu, tj. x=0 a x=-2. To už není těžké.

h4ck3r001 · 03. 07. 2009 14:19

jo jasný, to už nak zvladnu, ale děkuji za pomoc ...ve středu zkouška, tak potřebuju mit aspon 15 bodu :D ....

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2008 16:04 — Editoval Martin (08. 04. 2008 16:04)

Určte obor konvergence následujících řad

#2 08. 04. 2008 22:19

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#3 08. 04. 2008 22:53 — Editoval Saturday (09. 04. 2008 11:08)

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#4 09. 04. 2008 08:04

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#5 09. 04. 2008 20:03 — Editoval Saturday (09. 04. 2008 20:03)

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#6 02. 07. 2009 17:10 — Editoval h4ck3r001 (02. 07. 2009 17:13)

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#7 02. 07. 2009 18:12

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#8 02. 07. 2009 18:33

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#9 03. 07. 2009 12:30

Re: Určte obor konvergence následujících řad

#10 03. 07. 2009 14:19

Re: Určte obor konvergence následujících řad

Zápatí