#1 30. 04. 2023 22:10
- ekonomos629
- Příspěvky: 70
- Škola: VŠE
- Pozice: Student
- Reputace: 0
Dukaz indukci
Zdravím,
chtěl bych se zeptat, jestli by mi někdo poradil, jak bych měl tohle dokázat? Stačí mi nějaká nápověda, jak začít ten postup. Děkuji
Use mathematical induction to prove that 2 on the power of 𝑛+1 > 𝑛 on the power of 2, for 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≥ 3
on the power = na mocninu
Offline
#2 01. 05. 2023 01:30
Re: Dukaz indukci
↑ ekonomos629:
Ahoj.
(1) Ukaz, ze tvrzeni [mathjax] 2^{n+1} > n^2 [/mathjax] plati pro [mathjax] n=3 [/mathjax].
(2) Predpokladej, ze pro nejake [mathjax] n\geq 3 [/mathjax] plati [mathjax] 2^{n+1} > n^2 [/mathjax]. S pomoci tohoto predpokladu ukaz, ze je [mathjax] 2^{n+2} > \cdots > (n+1)^{2}. [/mathjax]
Offline
#3 01. 05. 2023 10:14 — Editoval Richard Tuček (01. 05. 2023 10:15)
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Dukaz indukci
↑ ekonomos629:
Také je možnost porovnat to podílem.
Stačí dokázat, že podíl (2^(n+2))/((n+1)^2)/(2^(n+1))/n^2) je pro n>=3 větší než 1
Po převedení na jednoduchý zlomek se to zjednoduší.
Offline
#4 04. 05. 2023 11:54
#5 04. 05. 2023 18:36
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Dukaz indukci
↑ petrkovar:
Je otázka co považovat za důkaz indukcí, ale toto by šlo jako důkaz indukcí formulovat:
Dokázat
[mathjax] 2^{n+2} > (n+1)^2 [/mathjax], tj. [mathjax] \frac{2^{n+2}}{ (n+1)^2} >1 [/mathjax]
za předpokladu
[mathjax] 2^{n+1} > n^2 [/mathjax], tj. [mathjax] \frac{2^{n+1}}{ n^2} >1 [/mathjax]
A my dokážeme silnější věc a sice:
[mathjax] \frac{2^{n+2}}{ (n+1)^2} > \frac{2^{n+1}}{ n^2} [/mathjax]
protože o posledním zlomku víme že je >1.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#6 04. 05. 2023 18:39
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Dukaz indukci
Jinak každý důkaz (kdy pro každé přirozaené číslo dokazujeme nějaké tvrzení) lze formálně vyjádřit jako důkaz indukcí - prostě jen nevyužijeme předpoklad, ale ta implikace formálně platí...
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline