Matematické Fórum

NeptuNZcz · 14. 01. 2008 21:45

Nazdar lidi, resim jeden fyzikalni priklad na zkousku z fyziky, ale zadrhl jsem se u matematickeho aparatu. Potreboval bych objasnit, jak resit nasledujici diferencialni rovnici:

pocatecni podminky: x(0) = 0
rovnice: 2 * x(t) + x'(t) = 2/3 * t

ma vyjit vysledek x(t) = 1/3(t-1/2)+1/6*e^(-2t)

( x(t) je funkce drahy, x'(t) je funkce rychlosti )
ze skript jsem vycetl, ze x(t) = xo(t) + xp(t) ;kde xo(t) je obecne reseni a xp(t) je partikularni reseni a dale je tam rozepsano xo(t) = C1*e^(a1(t)) + C2*e^(a2(t))
pro ziskani xo(t) jsem pochopil, ze je potreba resit homogenni dif.rovnici 2 * x(t) + x'(t) = 0 kde x(t) = e^(a*t), tedy a = -2.
taky chapu postup pro urceni te 1/6 ve vysledku ( za konstantu c, staci dosadit pocatecni podminky x = 0 a t = 0 )
Tady ale koncim... k cemu mi to a = -2 je dobry a co dal delat, nevim... jedine, pouzivali jsme tam substituci, vic nevim ... :(

andrew · 14. 01. 2008 22:14 — Editoval andrew (14. 01. 2008 22:42)

2NeptuNZcz : skript jsem vycetl, ze x(t) = xo(t) + xp(t) ;kde xo(t) je obecne reseni a xp(t) je partikularni reseni]

Se mi nejak nezda. Nas ucili $x_o(t) = x_h(t) + x_p(t)$ , kde $x_o(t)$ je obecne reseni, $x_h(t)$ je reseni homogenni a $x_p(t)$ je reseni partikularni.

Tedy mas homogenni reseni ve tvaru $x_h(t) = Ce^{-2t}$ , kde $C$ je konstanta. Dale na zjisteni reseni partikularniho existuje cela rada metod. Zvolme napriklad metodu variace konstant. Tj. namisto konstanty $C$ uvazujes fci v promene $t$ , tj $C(t)$ . Pak reseni partikularni hledas ve tvaru $x_p(t) = C(t)e^{-2t}$ . Dale stanovis $x^\prime_p(t)$ a dosadis do rovnice ze zadani. Vyjde ti neco jako $C^\prime(t) = \frac{2}{3}te^{2t}$ . Tohle z integrujes per partes a vysledek prictes k homogenimu reseni a mas obecne. Akorat nezapomen dosadit okr. podminku. Tot vse.

ps: nejak mi to porad nevychazi s tim vysledkem... (uz mi to vyslo, vyse uvedene je dobre :) )

plisna · 14. 01. 2008 22:56 — Editoval plisna (14. 01. 2008 22:57)

postup uvedeny andrewem je naprosto spravny, hledame reseni dane diferencialni rovnice ve tvaru $x(t) = x_h(t) + x_p(t)$ , kde $x_h(t)$ je reseni homogenni rovnice a $x_p(t)$ je partikularni reseni. reseni homogenni rovnice vychazi $x_h(t) = C{\rm e}^{-2t}$ , provedeme variaci konstanty a dostaneme obecne reseni $x(t) = \frac{1}{3}t - \frac{1}{6} + C{\rm e}^{-2t}$ , po dosazeni pocatecni podminky je reseni $x(t) = \frac{1}{3}t - \frac{1}{6} + \frac{1}{6}{\rm e}^{-2t}$ .

andrew · 14. 01. 2008 23:03 — Editoval andrew (14. 01. 2008 23:04)

:) no ja jsem si to zkoplikoval tim, ze jsem si vypocet psal do jiz popsaneho papiru. Takze v zaveru jsem nevidel, ze $e^{-2t}$ mam prenasobit $C$ abych dostal to partikularni reseni.

NeptuNZcz · 15. 01. 2008 01:03

super! diky moc za vysvetleni, uz jsem to pochopil :) ( miluji ten pocit, okamih toho uvedomeni :) ), to s temi skripty me zarazi, ale kaslu na to, kdyz to vychazi takto, tak co resit. ( tak me napada, mozna to bylo psano pro druhy rad.... ale nevim ), jeste jednou dik! :)

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2008 21:45

Diferenciální rovnice

#2 14. 01. 2008 22:14 — Editoval andrew (14. 01. 2008 22:42)

Re: Diferenciální rovnice

#3 14. 01. 2008 22:56 — Editoval plisna (14. 01. 2008 22:57)

Re: Diferenciální rovnice

#4 14. 01. 2008 23:03 — Editoval andrew (14. 01. 2008 23:04)

Re: Diferenciální rovnice

#5 15. 01. 2008 01:03

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí