Matematické Fórum

↑ Student123456:

Alespoň nějaké nakopnutí jak začít, moc prosím?

a) ∑ sin(1/n!)  (předtím špatně zapsáno, opraveno)
b) ∑ 1/(sqrt(n)+n^3+3)
c) ∑ ln(n)/n^4
(všechny řady jsou od n=1 do inf)

↑ surovec:

Doplněno do zadání. Děkuji za upozornění.

↑ osman:

"Řešení může být těmito kritérii: Srovnávací, Podílové, Odmocninové, Raabeovo, Integrální, Leibnizovo. Jiné bychom k řešení používat neměli."

b) se mi povedlo vyřešit integrálním kritériem, ale bylo to velmi zdlouhavé. (Per partes)
c) srovnávacím

Ale řady s geoniometrickými funkcemi jsou pro mě velký otazník. Našel jsem nějaký postup, který se odvolával na lim x->0 sin(x) / (x) = 1. Tím by šlo vyřešit lim a). Ale zase ne ostatní limity, které mám řešit. Jmenovitě ) ∑cos(1/n!), ) ∑cos(n)/n^4, ) ) ∑sin(n^3)/n^3. Všechny řady n=1 až inf.

↑ osman:

A to mi jak pomůže? křivky sinx a cosx sice nabývají hodnot <-1,1>, ale nepravidělně, takže Leibnizovo kritérium je z obliga. Odmocninové též protože nemám n-tou mocninu. 4x integrovat tento výraz by bylo jednak zdlouhavé a jednak těžko říct tha by to vedlo k výsledku. U podílového a Raabeova kritéria bych krátit stejně nemohl. Takže jsem "vystřílel všechen střelný prach" a žádná cesta k výsledku se nejeví jako schůdná.

Nebo jsem jen natvrdlý a nevidím něco triviálního. I to je možné...

↑ osman:

Takže pokud budu vycházet t této definice, tak mohu říci, že ∑|cos (1/n^4)| = ∑1/n^4 a jelikož vím, že řada 1/n^4 Konverguje, tak i řada cosn/n^4 konverguje?

Případně mohu říci, že ∑|sin (1/n!)| = ∑1/n! a jelikož řada 1/n! konverguje, pak i ∑sin 1/n! konverguje?
Nesedí mi to však na řadu ∑|cos (1/n!)| = ∑1/n!, protože tato řada by měla divergovat a dle tohoto postupu konverguje, neboť 1/n! konverguje.

↑ osman:

Takže má argumentace u  ∑cos (1/n^4) byla správná? Bylo by to stejně se sin(1/n^4)?
Dle Vašeho vztahu lze u této řady ∑cos 1/n! využít Heineho věty a říci, že řada lim n->inf cos 1/n! =) lim n->0 cos n/n = inf -) Diverguje? Je toto korektní přechod?

↑ Student123456:
Jenom si dávejme si pozor na správný zápis. Úvaha je správná. Platí
∑|cos (n)/n^4| <= ∑1/n^4 a ta konverguje. Obdobně pro  sin(n)/n^4

↑ osman:

Tedy pokud to dobře chápu, tak na základě srovnávacího kritéria vím, že řada [mathjax]\Sigma [/mathjax] [mathjax]\frac{1}{n!}[/mathjax] konverguje. A jelikož [mathjax]\sum_{}^{}sin(\frac{1}{n!})[/mathjax] je menší podobná funkce, tak mohu říci: [mathjax]\Sigma [/mathjax] an [mathjax]\le [/mathjax]  [mathjax]\Sigma [/mathjax] bn a [mathjax]\Sigma [/mathjax] bn konverguje, tedy i [mathjax]\sum_{}^{}sin(\frac{1}{n!})[/mathjax] konverguje. Říkám to dobře?

A pro [mathjax]\sum_{}^{}cos(\frac{1}{n!})[/mathjax] by se tato myšlenka použít nedala, a tam bych musel přistoupit k řešení Heineho větou?

↑ osman:

No, u řad s podílovým, odmocninovým a leibnizovým kritériem už jsem se docela sžil. Ale z těchto gonio řad mám, nebudu lhát, hlavu jako kopací míč.