Matematické Fórum

Piky36179 · 28. 05. 2023 22:56

Dobrý den, chtěl bych se zeptat, jak by se řešila nehomogenní rovnice v příkladu [mathjax]y´´+2y´+y=\frac{1}{xe^{x}}[/mathjax]

jestli by za odhadnutí kořene šlo určit jako (Ax+B)[mathjax]*e^{-x}[/mathjax]

Nevychází mi to a nejsem si jistý jestli dělám chybu v derivacích či v samotném odhadu kořene
Pro kontrolu

1. derivace (po roznásobení závorky) [mathjax]-Axe^{-x}-Be^{-x}[/mathjax]
2. derivace [mathjax]Axe^{-x}+Be^{-x}[/mathjax]

Děkuji za pomoc/vyřešení

laszky · 29. 05. 2023 00:36

↑ Piky36179:

Ahoj, namisto odhadu, pouzij variaci konstant. Odhad ti fungovat nebude, protoze uvedena diferencialni rovnice nema specialni pravou stranu.
Navic jsi udelal chybu pri derivovani: [mathjax] { \displaystyle \Bigr( (Ax+B)\mathrm{e}^{-x} \Bigr)' \neq -Ax\mathrm{e}^{-x} - B\mathrm{e}^{-x} } [/mathjax]

Richard Tuček

↑ Piky36179:
Metoda variace konstant je pracnější, nastíním ji.
Musíme najít řešení homogenní diferenciální rovnice (s nulovou pravou stranou).
To je y1=exp(-x), y2=x*exp(-x) 2 LN řešení
Obecné řešení hom. dif. rovnice je c1*exp(-x)+c2*x*exp(-x)
Pak vyřešíme soustavu: c1'(x)*y1+c2'(x)*y2=0
c1'(x)*y1'+c2'(x)*y2'=pravá strana
Determinant soustavy je tzv. Wronského determinant.
Pak musíme každou funkci integrovat.
Řešení je pak c1*y1 + c2*y2
O diferenciálních rovnicích je též na mém webu www.tucekweb.info (sekce matematika)

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2023 22:56

Najděte obecné řešení LODR2

#2 29. 05. 2023 00:36

Re: Najděte obecné řešení LODR2

#3 29. 05. 2023 11:17 — Editoval Richard Tuček (29. 05. 2023 11:26)

Re: Najděte obecné řešení LODR2

Zápatí