Matematické Fórum

↑ JendaPalenka:
Obor hodnot neznám, ale mohu říct, že tvá odpověď není správná. To, že sinx je v intervalu -1;1 je dobře, ale třeba 100:0,1=1000. Dle mého tam bude spíše R, krom nějakých čísel.

↑ JendaPalenka:
Taky se přiznávám 👍. Počkáme na odborníky.

↑ JendaPalenka:
Nejspíš šlo o definiční obor, ne?
Ale pokud jde opravdu o obor hodnot, postupoval bych takto:
Funkci mohu také zapsat takto: [mathjax]f(x)=x\cdot \csc x[/mathjax]. Funkce kosekans je periodická, takové symetrické "cups" (na intervalech [mathjax](2k\pi;\,\pi+2k\pi)[/mathjax]) a "caps" (na intervalech [mathjax](-\pi+2k\pi;\,2k\pi)[/mathjax]). Vynásobením [mathjax]x[/mathjax] se z toho jednak stane funkce sudá (stačí tedy zkoumat jen např. [mathjax]\mathbb{R}^+[/mathjax]), přičemž extrémy na jednotlivých intervalech se postupně vzdalují od osy [mathjax]x[/mathjax]. Takže globální extrémy (resp. infima a supréma) jsou na intervalu [mathjax]\langle 0;\,2\pi \rangle[/mathjax]. V nule funkce není definována, limita má hodnotu 1, takže lokální infimum je 1. Lokální maximum pak musí být na intervalu [mathjax]\langle \pi;\,2\pi\rangle[/mathjax]. Derivováním zadané funkce snadno zjistíme, že ten extrém nastává v kořeni rovnice [mathjax]x=\tan x[/mathjax] (cca 4,493), dosazením do původního předpisu pak získáme hodnotu cca –4,603. Takže obor hodnot je [mathjax](-\infty;\,-4,603\rangle \cup (1;\,\infty)[/mathjax].
Je to takové z hlediska matematické přesnosti nedotažené, ale princip řešení a výsledek by měl být správně.

Ano, přehlédnul jsem se a skutečně se jedná o triviállní příklad k určení D(f) zadané funkce.
S limitami jsem se zatím setkal pouze letmo, takže uvedeným řešením pro H(f) zatím moc nerozumím.
Každopádně děkuji za krátký vhled do látky z budoucnosti. :D

Tak že hodnoty mohou jít až do plus minus nekonečna je celkem jasné, plyne to z toho, že sin(x) může být libovolně blízký nule, a protože je ve jmenovateli, tak to může dát libovolně vysoké hodnoty (pro nějaké větší x, třeba kolem x=10).

Otázka spíš je, jak přijít na tu spodní hranici. Pro nás co víme, že sin(x)/x pro x blízké nule je blízké jedničce je to snadné. Pro vás, co to netušíte to bude horší.

Podle mě bez znalosti toho, že pro malá x přibližně platí že sin(x) = x se to udělat nedá. Pokud to víme, tak taky víme že hodnota sin(x) bude vždy o trochu menší než x, protože funkce sin(x) začne "zatáčet dolů". A pokud bude tedy x > sin(x), musí být výraz x/sin(x) vždycky větší než 1. Pro všechna x je tohle jasné, problém je jen pro x velmi blízké nule. Protože tam musíme dokázat že taky platí sin(x) < x.

Ale dokázat to podle mě jde i bez diferenciáního počtu když si uvědomíme, jak je definovaný sinus geometricky, že je to protilehlá odvěsna ku přeponě, a v případě jednotkové kružnice prostě délka protilehlé odvěsny. A hlavně si musíme uvědomit, co je to ten úhel - že je to délka toho kruhového oblouku.

Tady dávám odkaz na obrázek. Při pohledu na něj je jasné, že délka té odvěsny prostě musí být kratší než je délka toho oblouku kružnice, a to i pro velmi malé úhly.

Odkaz