Matematické Fórum

V celém dalším textu budu [mathjax]L_n[/mathjax] považovat za [mathjax]n-té[/mathjax] Lucasovo číslo. Tedy čísla dána předpisem:
[mathjax]L_0 = 2[/mathjax]
[mathjax]L_1 = 1[/mathjax]
[mathjax]L_{n+2}= L_{n+1}+L_{n}[/mathjax]


Neměl by někdo nápad na to jak dokázat, že pokud je [mathjax]n[/mathjax] prvočíslo pak [mathjax]L_n - 1[/mathjax] je dělitelné [mathjax]n[/mathjax]?

Já jsem dokázal několik věcí, které se snažím spojit dohromady:

1)  [mathjax]x^n+y^n\equiv L_n \cdot (x+y)(-xy)^{\frac{n-1}{2}}\mod x^2 +3xy+y^2[/mathjax] pro každé liché [mathjax]n[/mathjax] a libovolná [mathjax]x[/mathjax] a [mathjax]y[/mathjax].

2) Nechť [mathjax]d[/mathjax] je dělitel [mathjax]L_n[/mathjax] takový že [mathjax]d[/mathjax] dělí [mathjax]x^2+3xy+y^2[/mathjax] pak [mathjax]d[/mathjax] dělí též [mathjax]x^n+y^n[/mathjax]

3) Nechť [mathjax]d[/mathjax] je prvočíselný dělitel [mathjax]\frac{x^n+y^n}{x+y}[/mathjax] pro prvočíselné [mathjax]n[/mathjax] a libovolná nesoudělná [mathjax]x[/mathjax], [mathjax]y[/mathjax], pak buď [mathjax]d = n[/mathjax] nebo [mathjax]n[/mathjax] dělí [mathjax]d-1[/mathjax]


Já už od svých středoškolských let zkoumám Velkou Fermatovu větu a snažím se najít nástroje jak odvodit něco zajímavého :D No a teď jsem v období kdy zkoumám vlastnosti Lucasových čísel, protože tam hezky vystupuje [mathjax]x^n+y^n[/mathjax] což se pro Velkou Fermatovu větu hodí...

Úplná odbočka: já toto fórum využíval před lety a matematika se psala mnohem snáze mezi dolary. Existuje nějaký důvod proč se najednou sází přímo do textu skrze tagy mj? Je to hůře čitelné dle mého a navíc je třeba napsat 9 znaků místo dvou dolarů, je to mnohem pomalejší cokoliv napsat