Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
#1 15. 08. 2023 17:50
- heden solden
- Zelenáč
- Příspěvky: 7
- Škola: Gymnázium
- Pozice: student
- Reputace: 0
Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
Ahojte, mám problém s úlohou týkajúcej sa matematickej indukcie. Je treba potvrdiť, či vyvrátiť toto tvrdenie:
[mathjax]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}} \ge \sqrt{n}[/mathjax]
Ide pravdepodobne o jednoduchý problém, no moc mi nejde do hlavy, napokon som začiatočník...
Taktiež, mohol by niekto prosím poslať zbierku s podobnými príkladmi, ktoré obsahujú aj riešenia?
Ďakujem vopred za odpovede.
Offline
#2 15. 08. 2023 18:37
- check_drummer
- Příspěvky: 5508
- Reputace: 106
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
Ahoj, zkus si napsat indukční předpoklad, indukční krok, nějak vhoně ty dvě nerovnice zkombinovat....
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#3 15. 08. 2023 18:58
- heden solden
- Zelenáč
- Příspěvky: 7
- Škola: Gymnázium
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ check_drummer:No, veď práve s tým je tak trochu problém
Offline
#4 15. 08. 2023 19:00
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ heden solden: tak sem napíš svoj doterajší postup… Nemalo by to byť nič zložité, táto úloha ide urobiť v podstate z hlavy, bez nejakého veľkého počítania
Offline
#5 15. 08. 2023 19:09
- heden solden
- Zelenáč
- Příspěvky: 7
- Škola: Gymnázium
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
Offline
#6 15. 08. 2023 19:13
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ heden solden: skus to sem napisat, takto sa nic nezobrazuje
Offline
#7 15. 08. 2023 19:24 — Editoval heden solden (15. 08. 2023 19:26)
- heden solden
- Zelenáč
- Příspěvky: 7
- Škola: Gymnázium
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ vlado_bb:Je to link na obrazok s rukopisom, ale teda dobre.
Pre V(1) platí, tak teda indukcny predpoklad bude:
[mathjax]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}} \ge \sqrt{n}[/mathjax]
Pre n + 1 som mal dalej takyto postup:
[mathjax]\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}} \ge \sqrt{n+1}
[/mathjax]
[mathjax]
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge \sqrt{n+1}
[/mathjax]
[mathjax]
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}}\ge \frac{n}{\sqrt{n+1}}
[/mathjax]
[mathjax]
?? \frac{n}{\sqrt{n+1}} \ge \sqrt{n} ??[/mathjax]
Offline
#8 15. 08. 2023 19:28 — Editoval vlado_bb (15. 08. 2023 19:33)
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ heden solden: V 3. nerovnosti využi indukčný predpoklad. Tá nerovnosť je správne, keď v nej využiješ indukčný predpoklad, tak to máš
Offline
#9 15. 08. 2023 19:35 — Editoval heden solden (15. 08. 2023 19:36)
- heden solden
- Zelenáč
- Příspěvky: 7
- Škola: Gymnázium
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ vlado_bb:[mathjax]\sqrt{n}\ge\frac{n}{\sqrt{n+1}}[/mathjax]
Offline
#10 15. 08. 2023 19:39
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ heden solden:nie … vyuzi, co vieme o prvom clene v tretej nerovnosti
Offline
#11 15. 08. 2023 19:41 — Editoval heden solden (15. 08. 2023 19:41)
- heden solden
- Zelenáč
- Příspěvky: 7
- Škola: Gymnázium
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ vlado_bb:Ten je
vacsi ako odmocnina z n
Offline
#12 15. 08. 2023 19:43 — Editoval vlado_bb (15. 08. 2023 19:45)
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ heden solden:presne … cize staci ukazat ze [mathjax]\sqrt{n} + \frac 1{\sqrt {n+1}} \ge \sqrt{n+1}[/mathjax]
Offline
#13 15. 08. 2023 19:45
- heden solden
- Zelenáč
- Příspěvky: 7
- Škola: Gymnázium
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ vlado_bb:Aha, to dava zmysel. Dakujem, mam teraz lepsi "nadhlad" ako k tomu pristupovat ...
Offline
#14 15. 08. 2023 20:09
- check_drummer
- Příspěvky: 5508
- Reputace: 106
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
Důkaz indukcí je mocná zbraň, ovšem často ji studenti ne plně chápou. Problém jim např. dělá to, že předpokládají to co mají dokázat. :-)
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#15 20. 08. 2023 14:07
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
↑ heden solden:
Ahoj
Po využití indukčního předpokladu nám zbývá dokázat
[mathjax]\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge \sqrt{n+1}[/mathjax]
Zkus pak umocnit na druhou obě dvě strany nerovnice, dostaneš se až k nerovnici
[mathjax]2\sqrt{n(n+1)}>=n[/mathjax]
Opět umocnit......
tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.
Offline
#16 27. 08. 2023 15:02 — Editoval vanok (27. 08. 2023 15:10)
Re: Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín
Pozdravujem,
Mala poznamka:
Na dokaz vyrazu [mathjax]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}} \ge \sqrt{n}[/mathjax] pre lubovolne kladne prirodzene n, staci konstatovat, ze pre kazde kladne prirodzenne [mathjax] i\le n [/mathjax] mame [mathjax] \frac {1} {\sqrt {i}} \ge \frac {1}{\sqrt {n}} [/mathjax].
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Matematická indukcia - suma prevrátených hodnôt odmocnín