Matematické Fórum

S použitím 26 odporů takto:

Par(Par(Par(21000, 3000), 1000), 1000) = 420 Ω

Možná to jde i s menším množstvím ...

Pokud potřebujeme trefit nějakou přesnou hodnotu (tj. řešit to v celých číslech), tak to vypadá jako NP problém - tj jediná možnost je zkoušet všechny varianty. Nevím, jestli to tak je, ale moc si nedokážu představit algoritmus, který by mě k cíli dovedl.

Pokud by stačilo hodnoty dosáhnout přibližně, tak na to možná postup existovat bude. Nějaký iterační. Protože přidáním jednoho odporu v nějaké složité síti se odpor změní jen málo ... a čím větší síť, tím se změní méně. Čímž lze dosáhnout libovolné přesnosti.


Jedna z možností, co mě napadá a nepřijde mi zas až tak náročná na odpory je vyrobit si z nich dvojkovou řadu. Tj zapojíme 2 paralelně, čímž získáme polovinu původní hodnoty, pak 4 paralelně, čímž získáme čtvrtinu, pak 8 - čímž získáme osminu...

A každé číslo (menší než jedna) můžeme libovolně přesně poskládat jako součet řady

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...

samozřejmě s tím, že vhodné členy vynecháme. Které? No, stačí naše číslo v desítkové soustavě převést do dvojkové, a kde budou nuly, tam člen vynecháme. Ale je to jen přibližné, řada má obecně nekonečný počet prvků.

Nejbližší hodnota je 500 Ω, která lze získat paralelním spojením dvou odporů (to je jasné).
Teď si spočítám jak velký odpor musím paralelně připojit k němu abych získal 420 Ω.

[mathjax]420={{X\,500}\over{X+500}}[/mathjax]

Vyjde hodnota 2625 Ω.

A obdobně zjistím kolik odporů musím paralelně spojit, abych získal tuto hodnotu (výsledek celá hodnota pro 3 odpory - tedy 3000 Ω):

[mathjax]2625={{X\,3000}\over{X+3000}}[/mathjax]

X=21000

A je to...

↑ mák:
nice

Šlo by to i graficky:

420 Ω jde rozložit na 21 * 20 Ω.
Odpor 20 Ω jde udělat paralelním spojením padesáti odporů o hodnotě 1000 Ω.
Takže máme sério-paralelní sít 50*21 odporů.
Využijeme toho, že 2x2 odpory dají opět hodnotu 1000 Ω.
Obdobně 3x3, 4x4 atd...
Na obrázku jsem zvýraznil čtverce které jdou zjednodušit na jeden odpor.
Žlutý čtverec má tedy hodnotu 1000 Ω. Obdobně růžový. Oba paralelním spojením vytvoří hodnotu 500 Ω.
Zbývající část je tvořena seriovým zapojením dvou odporů [světle zelená] a [bledě modrá] a paralelní kombinací [oranžové] atd...
Celkově tedy:

Par(Par(1000,1000),1000+1000+Par(1000,1000+Par(1000,1000+1000))) = 420 Ω

Barevně:
Par(Par(žlutý,růžový),zelený+modrý+Par(oranžový,khaki+Par(fialový,bílý+bílý))) = 420 Ω

Je to pouze 9 odporů (Aleš se k tomu dostal jinou cestou).
Myslím, že je to snadno pochopitelné.

↑ Ondry: nz :-) myslel jsem to takhle:

program odporova_sit;

procedure kombinace (r1, r2 : double; vnoreni : integer; k1,k2 : string);
var
  paralelne : double;
  seriove   : double;

begin
  seriove:=r1+r2;
  if abs(seriove-420)<0.00000001 then writeln(k1+'+'+k2);
  if vnoreni>0 then begin
    kombinace(seriove,r1,vnoreni-1,'('+k1+'+'+k2+')',k1);
    kombinace(seriove,r2,vnoreni-1,'('+k1+'+'+k2+')',k2);
    end;
  paralelne:=1/(1/r1+1/r2);
  if abs(paralelne-420)<0.00000001 then writeln(k1+'|'+k2);
  if vnoreni>0 then begin
    kombinace(paralelne,r1,vnoreni-1,'('+k1+'|'+k2+')',k1);
    kombinace(paralelne,r2,vnoreni-1,'('+k1+'|'+k2+')',k2);
    end;
  end;

begin
  kombinace(1000,1000,10,'R','R');
  end.

↑ Aleš13:
Ahoj,
akorát mi není jasné, zda ten program projde všechny možné kombinace. Např. dvě paralelní zapojení, které jsou za sebou v sérii.

Mně to vychází (možná je to stejné jako u kolegů):

P(S(1000,P(1000,1000)),P(1000,S(1000,P(S(1000,1000),P(1000,1000)))))

P je paralelní zapojení, S seriové, argumenty jsou velikosti odporů v daném zapojení, případně rekurzivně další zapojení.

V podstatě jde o palelelní zapojení 3 odporů s hodnotami 1500, 1000 a 1400.


Pak mi vyšla ještě další zapojení s 9 odpory, ale možná jsou ekvivaletní, to jsem nezjišťoval.

r1,r2 jsou odpory které zkusmo spojím sériově a pak paralelně. Nejdřív se podívám, zda jsem tím nedosáhl požadovaného výsledku, pak znovu volám tutéž funkci, vždy pro každé spojení r1,r2 dvakrát, poprvé s r1 a podruhé s r2 jako druhým argumentem. Souběžně totéž, ale symbolicky, dělám s řetězci k1,k2 aby bylo co vypisovat. Takže ano, postupně to na sebe nabaluje další odpory, ale na ty hodně složité obvody to není, algoritmus má exponenciální složitost a trvalo by to věčnost.

Pro zajímavost, tady jsem vypočítal, kolik je potřeba odporů o hodnotě 1000 Ω k sestavení obvodu o hodnotě 1 až 1000 Ω. Je tam tedy 1000 hodnot.

Skrytý text:

Skrytý text:

↑ mák:
Nepřipomíná to nějakou známou křivku?

Já pořád přemýšlím nad tím, jak vymyslet nějaký formální zápis, pomocí kterého by šly jednoduše zrealizovat všechny možné kombinace. Když budeme používat symboly + a | musíme k tomu použít i závorky. (R + R) | R je něco jiného než R + (R | R). A i když je snadné hodnotu spočítat (napsat na to parser), tak je podle mě dost těžké vyrobit všechny možné kombinace. Nějak jednoduše - což znamená dokázat je seřadit do řady, aby byla jistota, že jsme žádnou nevynechali. To jestli používáme operátory nebo funkce už na problému zas až tolik nemění.

Napadlo mě využít Polskou notaci, ta závorky nepotřebuje, a nakonec i parser se na to dá napsat snadněji. Polská notace je něco ve stylu R R | R + R R R + | | a bere se to (v tomhle případě) zleva, tedy
(((R R |) R +) (R (R R +) |) |). Přičemž výraz (R R +) je výsledek sériové kombinace těch R, (R R |) je výsledek té paralelní. Je to to samé jako volání funkcí.

Akorát že se to hezky parsuje, prostě bereme zleva symbol po symbolu, když je to číslo, tak ho vložme na zásobník, a když je to operace tak vezmeme dvě poslední hodnoty ze zásobníku, provedeme na nich tu operaci a výsledek vrátíme na zásobník. Nakonec nám na zásobníku zůstane jedna hodnota - výsledek. Pokud jich tam zůstane víc, nebo tam nejsou aslespoň dvě během procesu, tak je to syntaktická chyba.

Tenhle zápis nepotřebuje závorky, priorita je určená čistě jen pořadím operátorů a číslic. Akorát že né všechny posloupnosti jsou plané. A celkové množství kombinací je [mathjax]3^n[/mathjax], pokud tedy uvažujeme jen jednu hodnotu odporu. A z nich je určitě velká část kombinací neplatných.

Nemáte někdo nějaký nápad, jak udělat syntaktický zápis těchto sérioparalelních kombinací tak, aby těch neplatných možností bylo malé množství (ideálně žádné) ale zároveň aby šly jednoduše vyrobit všechny kombinace?