Matematické Fórum

Dobrý den, mám za úkol vyřešit poměrně komplexní problém týkající se šíření tepla mezi převodovkou a okolním prostředím.

Převodovka je naplněna olejem pro mazání a odvod provozem vznikajícího tepla na povrch převodovky.

Tepelné ztráty způsobené vedením tepla: [mathjax]P_{vedení}\approx h\cdot A\cdot \Delta T[/mathjax]
[mathjax]P_{vedení}[/mathjax] [mathjax][watt][/mathjax]
[mathjax] h = 20  W/m2\cdot K[/mathjax]
[mathjax]A=0,3 m^{2}[/mathjax]...povrch převodovky


Tepelné ztráty způsobené radiací tepla: [mathjax]𝑃_{radiace} ≈ 𝐴 \cdot  𝜖 \cdot  𝜎 \cdot  (𝑇^{4} − 𝑇_{okolí}^{4})[/mathjax]
[mathjax] 𝜖 = 0.5[/mathjax]
[mathjax]𝜎≈ 5.67 \cdot  10^{-8} \frac{W}{m^{2}\cdot K^{4}}[/mathjax]....Stefan-Bolzmanova konstanta
[mathjax]T[/mathjax]...teplota povrchu
[mathjax]𝑇_{okolí}=40^\circ C[/mathjax]...v průběhu provozu se nemění

Změna teploty v oleji a ocelových součástí při použití energie: [mathjax]\Delta T=\frac{E}{c_{p,olej}\cdot m_{olej}+c_{p,ocel}\cdot m_{ocel}}[/mathjax]
[mathjax]c_{p}[/mathjax]...měrná tepelná kapacita
[mathjax]m_{olej}=1 kg[/mathjax]
[mathjax]m_{ocel}=5 kg[/mathjax]
[mathjax]c_{p,ocel}= 500 \frac{J}{Kg\cdot K}[/mathjax]
[mathjax]c_{p,olej}[/mathjax]...tepelná kapacita oleje se mění lineárně s teplotou: při [mathjax]-20^\circ C[/mathjax] je [mathjax]1700\frac{J}{Kg\cdot K}[/mathjax] a při [mathjax]300^\circ C[/mathjax] je [mathjax]2700\frac{J}{Kg\cdot K}[/mathjax]


Vztah mezi výkonem a kroutícím momentem: [mathjax]P=M\cdot \omega [/mathjax]
[mathjax]\omega [/mathjax]...obvodová rychlost
kroutící moment je konstantní (M= 24 Nm) do hodnoty 3000 ot./min. Poté lineárně klesá a při 5000 ot./min má hodnotu 14 Nm)
Motor běží nepřetržitě v cyklech: 80 sekund při otáčkách 4000 ot./min, poté doba doběhu 10s na 0 ot./min, 20s zůstávají otáčky na 0 ot./min a poté doba náběhu 10s na 4000 ot./min.

[mathjax]\eta _{převodovka}=90\% [/mathjax]...mechanická účinnost (10% výkonu motoru se přemění na teplo v převodovce)

Teplota oleje na začátku provozu je [mathjax]20^\circ C[/mathjax].

Energie systému by se měla získat integrací výkonu.
Suma výkonů: [mathjax]P_{celkový}=P_{motor}-P_{vedení}-P_{radiace}[/mathjax] ??

Úkolem je posoudit maximální teplotu oleje. Ložiska uvnitř mohou pracovat maximálně při [mathjax]130^\circ C[/mathjax]. Bude maximální teplota nižší, nebo vyšší?


Měl bych analyticky odvodit zjednodušené vzorce. Hlavní cíl je vytvoření simulace v Matlab Simulink, ale zároveň ověření výsledků "na papíře". Předtím, než se pustím do simulace, tak jsem si říkal, že bych chtěl lépe porozumět problému z fyzikálního hlediska, takže se obracím na Vás, jesli máte nějaké připomínky k tomuto problému, které by mi mohly pomoci nebo cokoliv Vás napadne. Děkuji.