Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím, mám následující příklad:
Najděte všechny posloupnosti [mathjax](a_{n})_{n\ge 1}[/mathjax], jejichž členy vyhovují rekurentnímu vztahu
[mathjax]a_{n} = \frac{9}{10}a_{n-1} + \frac{1}{10}a_{n-2} + 132n^{2} - 178n + 82[/mathjax]
pro člen [mathjax]n \ge 3[/mathjax] (člen [mathjax]a_n[/mathjax] vyjádřete jako funkci jeho pořadového čísla [mathjax]n[/mathjax]).
Vím, že se musí nejdříve spočítat ta homogenní část, tj. [mathjax]a_{n} = \frac{9}{10}a_{n-1} + \frac{1}{10}a_{n-2}[/mathjax]. Z toho jsem sestavil charakteristickou rovnici [mathjax]r^{2} - \frac{9}{10}r - \frac{1}{10} = 0[/mathjax] a vyšlo mi: [mathjax]r_{1} = -\frac{1}{10}[/mathjax], [mathjax]r_{2} = 1[/mathjax]. Půlku řešení tedy mám:[mathjax]a_{n}^{(h)} = C\cdot 1^{n} + D\cdot (-\frac{1}{10})^n = C + D\cdot (-\frac{1}{10})^n[/mathjax]. Ale co s tou druhou půlkou? Vím, že se má nějak udělat partikulární řešení, ale moc tomu nerozumím. Poradíte, prosím?
PS. Mělo by to vyjít: [mathjax]a_{n} = 40n^{3} - 10n^{2} + \frac{10}{11}n +C + D(-\frac{1}{10})^{n}[/mathjax]
Offline
↑ bobik105:
Ahoj, protoze je 1 koren charakteristicke rovnice, hledas partikularni reseni ve tvaru [mathjax]a_n^{(p)}=n(an^2+bn+c)[/mathjax].
Konstanty [mathjax]a,b,c[/mathjax] dopocitas dosazenim do vztahu pro [mathjax]a_n[/mathjax].
Offline
↑ bobik105:
Do vztahu
[mathjax] {\displaystyle a_{n} = \frac{9}{10}a_{n-1} + \frac{1}{10}a_{n-2} + 132n^{2} - 178n + 82 } [/mathjax]
dosadis
[mathjax] {\displaystyle a_n=n(an^2+bn+c) }[/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle a_{n-1}=(n-1)(a(n-1)^2+b(n-1)+c) }[/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle a_{n-2}=(n-2)(a(n-2)^2+b(n-2)+c) }[/mathjax]
a porovnas koeficienty u [mathjax]n^2[/mathjax], [mathjax]n[/mathjax] a konstanty.
Offline
↑ laszky:
Asi jsem natvrdlej nebo nevim :D, ale ten posledni krok furt nechapu.
Dosadil jsem a roznasobil to, tohle vyslo:
[mathjax]an^3 + bn^2 + cn = \frac{13}{10}b - \frac{17}{10}a - \frac{11}{10}c - 178n + \frac{39}{10}an - \frac{11}{5}bn + cn - \frac{33}{10}an^2 + an^3 + bn^2 + 132n^2 + 82[/mathjax]
Co s tim ted dal, jak ty konstanty porovnat? Prosim jeste o napovedu
Offline
↑ bobik105:
Ahoj, tak kdyz se podivas na koeficienty u jednotlivych mocnin [mathjax]n[/mathjax], tak:
u [mathjax]n^3:[/mathjax] [mathjax]a=a[/mathjax]
u [mathjax]n^2:[/mathjax] [mathjax]b=-\frac{33}{10}a+b+132[/mathjax]
u [mathjax]n^1:[/mathjax] [mathjax]c=-178+\frac{39}{10}a-\frac{11}{5}b+c[/mathjax]
u [mathjax]n^0:[/mathjax] [mathjax]0=\frac{13}{10}b-\frac{17}{10}a-\frac{11}{10}c+82[/mathjax]
Z toho uz snad [mathjax]a,b,c[/mathjax] lehce spocitas.
Offline
Stránky: 1