Matematické Fórum

sarii · 09. 12. 2023 01:10

Dobrý den,

mám vypočítat parciální derivace druhého řádu pro:
$f (x, y) = l n (x^{2} - x y^{2})$

Dle výsledků má být správně:
$x x = \frac{- 2 x^{2} + 2 x y - y^{3}}{(x^{2} - x y^{2})^{2}}$

$x y = \frac{2 (x + y^{2})}{(x - y^{2})^{2}}$

$y y = \frac{4 x y - y^{2} - x}{(x^{2} - x y^{2})^{2}}$

Mně ale pořád vychází tohle:

$x x = \frac{- 2 x^{2} + 2 x y^{2} - y^{4}}{(x^{2} - x y^{2})^{2}}$

$x y = \frac{- 2}{x - y^{2}}$

$y y = \frac{2 y}{(x - y^{2})^{2}}$

Kde prosím dělám chybu?

P.S. Pokud by mi byl někdo ochotný vypočítat ještě toto budu také moc vděčná!
$\frac{\partial u}{\partial x y z}$ funkce $u = e^{x y z}$

osman · 09. 12. 2023 07:57

Ahoj, napiš prosím, jak ti vyšly parciální derivace prvního řádu podle x, y

sarii · 09. 12. 2023 09:56

Vyšly mi

$x = \frac{2 x - y^{2}}{x^{2} - x y^{2}}$

$y = \frac{- 2 x y}{x^{2} - x y^{2}}$

Richard Tuček

↑ sarii:
Parciální derivace lze spočítat také tímto trikem:
ln(x^2 - xy^2) = ln(x(x-y^2))=ln(x) + ln(x-y^2)
Derivujeme každý výraz zvlášť
df/dx = 1/x + 1/(x-y^2)
df/dy = -2y/(x-y^2)

d2f/dxx = -1/x^2 - 1/(x-y^2)^2
d2f/dyy= (-2)*(x-y^2)+2y*(-2y)/(x-y^2)^2
d2f/dxy = 2y/(x-y^2)^2

nebo
d2f/dxx = 2*(x^2-x*y^2)-(2x-y^2)*(2x-y^2)/(x^2-x*y^2)^2

P.s. Parciální derivace 1. řádu mi vyšly také tak, derivace podle y lze zjednodušit vykrácením.
Parciální derivace d2f/dxx mi vyšla také tak, může být také chyba ve výsledku.

Richard Tuček · 09. 12. 2023 13:13

↑ sarii:

Zkusil bych nejdříve spočítat d2f/dxdy, kde f(x;y)=exp^xy
Zkusil bych obě pořadí, vyjde to stejně.

sarii · 09. 12. 2023 13:26

Děkuji všem za odpovědi! Zdá se, že jsme tedy došli ke stejnému výsledku a že tedy mají spíše oni chybu v uvedených výsledcích.

Mirek2 · 09. 12. 2023 18:20

Ahoj,

existují i onlline kalkulačky pro derivování, také pro druhé řády, včetně postupu, např.
https://www.derivative-calculator.net/

osman · 09. 12. 2023 18:34 — Editoval osman (09. 12. 2023 18:35)

↑ sarii:

Mně ale pořád vychází tohle:
$x x = \frac{- 2 x^{2} + 2 x y^{2} - y^{4}}{(x^{2} - x y^{2})^{2}}$

$x y = \frac{- 2}{x - y^{2}}$

$y y = \frac{2 y}{(x - y^{2})^{2}}$

Děkuji všem za odpovědi! Zdá se, že jsme tedy došli ke stejnému výsledku a že tedy mají spíše oni chybu v uvedených výsledcích.

Souhlasím pouze s vaším prvním výsledkem
$x x = \frac{- 2 x^{2} + 2 x y^{2} - y^{4}}{(x^{2} - x y^{2})^{2}}$ .

Jestli jste omylem přehodila označení druhého a třetího řádku (xy,yy), souhlasím i s výsledkem
$x y = \frac{2 y}{(x - y^{2})^{2}}$ .

Ale $y y = \frac{- 2}{x - y^{2}}$ není správně. Při výpočtu $\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ jste asi někde přehlídla znaménko.
V čitateli není výraz $(x - y^{2})$ , který by se dal zkrátit. Zkuste se na to ještě mrknout.

osman · 09. 12. 2023 18:40 — Editoval osman (09. 12. 2023 18:42)

↑ Mirek2:
Bůh žehnej derivačkám! (Sem to přepočítával asi čtyřikrát, fuj)

sarii · 10. 12. 2023 21:18

↑ Mirek2:

Super, to se bude hodit!

↑ osman:

No opravdu, koukám, že už motám i vytýkání

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2023 01:10

Parciální derivace 2. řádu

#2 09. 12. 2023 07:57

Re: Parciální derivace 2. řádu

#3 09. 12. 2023 09:56

Re: Parciální derivace 2. řádu

#4 09. 12. 2023 12:19 — Editoval Richard Tuček (09. 12. 2023 12:39)

Re: Parciální derivace 2. řádu

#5 09. 12. 2023 13:13

Re: Parciální derivace 2. řádu

#6 09. 12. 2023 13:26

Re: Parciální derivace 2. řádu

#7 09. 12. 2023 18:20

Re: Parciální derivace 2. řádu

#8 09. 12. 2023 18:34 — Editoval osman (09. 12. 2023 18:35)

Re: Parciální derivace 2. řádu

#9 09. 12. 2023 18:40 — Editoval osman (09. 12. 2023 18:42)

Re: Parciální derivace 2. řádu

#10 10. 12. 2023 21:18

Re: Parciální derivace 2. řádu

Zápatí