Matematické Fórum

Dobrý den, mám následující slovní úlohu:

Zobrazení [mathjax]L[/mathjax] na prostoru dvakrát spojitě derivovatelných funkcí [mathjax]f(x) → [L(f)](x) = e^x[e^{-x}xf'(x)]' + [(-x^2-2x+1)f'(x)]'[/mathjax] je lineární a pro každé [mathjax]n\in N[/mathjax] zobrazuje prostor [mathjax]P_{n}[/mathjax] mnohočlenů stupně nejvýše [mathjax]n[/mathjax] do sebe. Najděte kubický mnohočlen [mathjax]P_{3}[/mathjax], který je vlastním vektorem zobrazení [mathjax]L[/mathjax] (pokud existuje), a odpovídající vlastní číslo.
(Možný postup: Využijte maticové reprezentace zobrazení [mathjax]L[/mathjax] ve vybrané bazi prostoru [mathjax]P_{n}[/mathjax] pro vhodné [mathjax]n[/mathjax].)

Vůbec netuším, co s tím mám dělat, jak mám z toho získat tu matici. Vlastní číslo pak nebude problém spočítat a souřadnice polynomu by měl být vlastní vektor té matice, pokud se nemýlím. Poradíte, prosím?

Úloha by měla vyjít takto:
[mathjax]L = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 2 & 0\\
0 & -3 & -4 & 6\\
0 & 0 & -8 & -9\\
0 & 0 & 0 & -15
\end{pmatrix}[/mathjax]
[mathjax]\lambda = -15[/mathjax]
[mathjax]P_{3} = x^3 + \frac{9}{7}x^2 - \frac{1}{14}x - \frac{37}{210}[/mathjax]