Matematické Fórum

↑ laszky:
https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_kernel

↑ Jakbysmet:
Podle me takhle ta zamena se ti povede jen na oblastech |x|>r pro libovolne r>0, diky cemuz odhadnes to |x|^2 a zaporna exponenciela zabije vsechno, co vyleze z Laplace. Pak muzes zkusit, jestli dokazes zalimitit r do nuly.

↑ Jakbysmet:

Tak muzes treba zkusit najit maximum [mathjax]M[/mathjax] funkce [mathjax]u(t,x)=t^{-n/2}e^{-|x|^{2}/4t}[/mathjax] na intervalu [mathjax](0,\infty). [/mathjax]

Pak je [mathjax] {\displaystyle u(x,t) \leq \min\{M,t^{-n/2}\} \leq \frac{1+M}{1+t^{n/2}}},[/mathjax] a to uz by mohlo jit zintegrovat.

↑ check_drummer:

Ahoj, pokud [mathjax] M \leq t^{-n/2}, [/mathjax] potom

[mathjax] {\displaystyle \min\{M,t^{-n/2}\} =  M =  M\frac{1+t^{n/2}}{1+t^{n/2}}  = \frac{M+Mt^{n/2}}{1+t^{n/2}} \leq \frac{1+M}{1+t^{n/2}} } [/mathjax]

Pokud [mathjax]  t^{-n/2}\leq M, [/mathjax] potom

[mathjax] {\displaystyle \min\{M,t^{-n/2}\} =  t^{-n/2} =  t^{-n/2}\frac{1+M}{1+M}  = \frac{1+M}{t^{n/2}+Mt^{n/2}} \leq \frac{1+M}{1+t^{n/2}} } [/mathjax]

No našel jsem majorantu na [mathjax](\varepsilon , +\infty)[/mathjax] pro libovolné kladné ε>0, doufám, že to stačí.

laszky napsal(a):

↑ Jakbysmet:

Tak muzes treba zkusit najit maximum [mathjax]M[/mathjax] funkce [mathjax]u(t,x)=t^{-n/2}e^{-|x|^{2}/4t}[/mathjax] na intervalu [mathjax](0,\infty). [/mathjax]

Ale funkce u(t,x) není definována na intervalu [mathjax](0,\infty). [/mathjax] - x je z [mathjax]\mathbb{R}^{n}[/mathjax]

↑ Bati: vsak to jsem v podstate udelal, zamenil to na [mathjax](\varepsilon,+\infty)[/mathjax] pro kazde [mathjax]x_{i}[/mathjax], coz je nekonecne mezikruzi.
To jde pro libovolne [mathjax]\varepsilon > 0[/mathjax], ma to platit pro vsechna [mathjax]x\neq 0[/mathjax], cili to je ok.
Vzdy se da zvolit epsilon dostatecne male, abych to pro libovolne male kladne |x| prohodil.
(Doufam :)) )

↑ Bati:
Chci na R^n \ {0}, tim padem to mam, ne?
Cilem je proste ukazat, ze h na R^n \ {0} resi laplaceovu rovnici.