Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Ano pro n=2. Ale s matematickou indukcí nevím jak postupovat,  postupoval jsem obdobně s integrací per partes, ale důkaz mi z toho nevyplynul.

↑ check_drummer:

Vychází mi nesmysly, vzdávám se. Pokud to není problém, poprosím o řešení.

↑ Mikem: Základ matematické indukce je ten, že se to dokáže pro nejmenší n pro které to platí (v tomhle případě pro n=2), pak předpokládáš, že to platí pro n=k a začneš dokazovat pro n=k+1 kde využiješ předpokladu.
Pro n=2 bys měl dostat nalevo integrál od a do b z z integrálu od a do t z funkce f(\tau) a napravo integrál od a do b z funkce f(\tau)*(b-\tau). Na funkci napravo bys pak měl využít právě to per partes, s tím, že to je ve tvaru "funkce kráte polynom". V tom případě derivuješ polynom a integruješ neznámou funkci. Tady může být trošku zmatek v tom, že nevíš jaká je primitivní funkce k f(\tau). Ale tohle jde velmi lehce vyřešit, když si označíš onu primitivní funkci obecně jako velké F(\tau). Jelikož máš ještě najít primitivní funkci k F(\tau), tak opět je to jenom o označení. Já si to označil např. velké S. To by měly být dostatečné indicie pro to to vyřešit. Ale samozřejmě jestli by byl problém, tak napiš.

↑ Mikem: A jak jsi to dokázal, jestli se můžu zeptat? Navíc kde je problém s tou integrací per partes? Zvládl jsi to teda pro ten případ n=2?

↑ Mikem: Ty jo, podrobně nevím jestli to popíšu, jelikož toho je docela dost, ale pokusím se alespoň to naznačit. Označíš si u=(b-\tau)^k a v'=f(\tau) potom to podle vzorce per partes zintegruješ a dostaneš se k funkci (1/k!) * ([F(\tau)(b-\tau)^k] od a do b + integrál od a do b z funkce k*(b-\tau)^(k-1)*F(\tau)d\tau). Po roznásobení součtu tím (1/k!) a využití předpokladu dostaneš (-1/k!)*F(a)(b-a)^k) + integrál z předpokladu. Potom je třeba dokázat, že [(b-a)^(k)]/k! je rovno integrálu od a do b z integrálu od a do t_1 až z integrálu od a do t_{k-1} z funkce 1 dt_{k}dt_{k-1} až dt_{1}. Jakmile tohle dokážeš, pak stačí využít toho, že součet integrálů je integrál součtu, vhodně přeznačit, zintegrovat a je to. :-D Nevím jak lépe to popsat. Musel bych to přepsat do LaTexu, ale to se mi moc nechce.

Odkaz Tak tady to máš vyřešené.

1) V tvém postupu je chyba na posledním řádku. Ta první část není 0-0, ale 0-(1/k!)*(F(a)*(b-a)^k). Tu druhou část už můžeš převést pomocí předpokladu na požadovaný integrál.
2) Možná budeš v mém řešení zmatený ze dvou věcí. Mezi předposledním a posledním řádkem se mění proměnné, ale to je jen z toho důvodu, aby to bylo ve tvaru jako to je v předpokladu. Jsou to pořád jen proměnné. Můžu je pojmenovat třeba Pepa. A druhá věc. Mezi čtvrtým a pátým řádkem asi budeš zmaten jak jsem z tohoto výrazu (1/k!)*(F(a)*(b-a)^k) přešel k onomu integrálu, ale ono to není zase tak těžké. Jen je třeba to někde bokem dokázat indukcí, že to platí. :-D V tomhle případě doporučím to dokazovat pro jedničkovou funkci a ne pro -F(a). Ne, že by se něco změnilo, ale trošku se ti to zpřehlední.

↑ Mikem: Ty jo, upřímně jsem trošku zmaten. Píšeš F(a) = integrál = 0, ale ten integrál je roven F(a)-F(a), nikoliv pouze F(a), takže pokud se nemýlím, tak první rovnítko není pravda.
P.S.: Když dosadíš meze, tak ta první nula je správně, protože (b-b)^n = 0, ale po dosazení druhé meze dostaneš (b-a)^n kráte ten integrál vyčíslený v bodě a, což nula není.