Matematické Fórum

LamaGanja · 08. 07. 2009 13:10

Zdravím, tak mám asi po výšce, protože mi ani měsíc intenzivnho počítání u poslední zkoušky nepomohl :( Prostě doma v klidku mi to jde, ale na zkoušce si za boha nevzpomenu a motám vše dohromady. Tak jestli můžu, tak tu mám příklady ze zkoušky a rád bych, kdyby jste mi ukázali, jak měly být řešeny :(

1)Intervaly ryzí monotonie
$f(x)=50-x^3-x^2-77x$

2)limita ve vlastním bodě
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx}{sinx}$

3)Taylor 2.řád
$f(x)=tgx,x_o=\frac\pi4$

4)Neurčitý integrál
$\int\frac{ln^2x}{2x}dx$

5)Určitý integrál
$\int_0^\pi3xcosxdx$

Rumburak

Tak třeba
Ad 2:
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\sin x}\,\frac {1 + \cos x}{1 + \cos x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}\,\frac {1}{1 + \cos x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin^2 x}{\sin x}\,\frac {1}{1 + \cos x} =\lim_{x\rightarrow0}\,\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac {0}{2} = 0$

Ad 4: substituce y = ln x , dy = dx / x :
$\int\frac{ln^2x}{2x}dx =\int\frac{y^2}{2}dy = \frac {1}{6} y^3 + C = \frac {1}{6} \ln^3 x + C$

lukaszh · 08. 07. 2009 13:22

↑ LamaGanja:
Prvé zadanie snáď ani nemyslíš vážne. Pohľadaj v predchádzajúcich príspevkoch - priebeh funkcie, ide len o riešenie nerovnice. Ak robí problém, treba si zopakovať aj staršie učivo zo strednej školy.

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{x}{\sin x}=0\cdot1=0$

$T_2(x)=f$\frac{\pi}{4}$+f'$\frac{\pi}{4}$$x-\frac{\pi}{4}$+\frac{f''$\frac{\pi}{4}$}{2}$x-\frac{\pi}{4}$^2$

LamaGanja · 08. 07. 2009 13:25

↑ Rumburak:
Tenhle je asi jediný, který mám dobře jestli jsem ho teda mohl řešit l'Hospitalem, že jsem si dal: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=||\frac00||=^{l'H}\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin x}{cos x}=\lim_{x\rightarrow0}tg x=tg0= 0$ ?

Rumburak · 08. 07. 2009 13:32

↑ LamaGanja:
Ano, je to správně.

LamaGanja · 08. 07. 2009 13:38

↑ lukaszh:

Když se tak dívám, tak ten první příklad, zderivuju jednou a co je pro mě odpovědí, že funkce je ryze klesající na R?

Rumburak · 08. 07. 2009 13:41

Ad 5: per partes:
$\int_0^\pi3x\, \cos x\, dx = [3x \,\sin x]_0 ^\pi- \int_0^\pi3\, \sin x\, dx = 0 - [-3 \,\cos x]_0 ^\pi = [3 \,\cos x]_0 ^\pi = -6$ .

Rumburak · 08. 07. 2009 13:50

↑ LamaGanja:
Na základě hodnot f ' lze soudit o monotonii původní funkce f:

Je-li na intervalu I splněno f ' > 0 , potom f je na I rostoucí (nebo se nyní říká "ryze rostoucí" ?)
Je-li na intervalu I splněno f ' < 0 , potom f je na I klesající (nebo se nyní říká "ryze klesající" ?)

Je tedy nutno nalézt intervaly , na nichž je f ' > 0 a další intervaly, na nichž f ' < 0.

LamaGanja · 08. 07. 2009 13:53

↑ Rumburak:

Nějak, ale nechápu, jak můžu najít intervaly, když to řeším jako kvadratickou rovnici a výjde záporný diskriminant a nemůžu pak dosáhnout žádných kořenů :(

Rumburak · 08. 07. 2009 14:10

↑ LamaGanja:
Jestliže spojitá funkce nemá na intervalu I kořeny, pak na tomto intervalu nemění znaménko.
Lze aplikovat i na případ, kdy I = R.

LamaGanja · 09. 07. 2009 12:55

↑ Rumburak:
Tak nakonec mi zkouška vyšla a jdu do třeťáku, díky všem za pomoc, ale stejně ještě pořád nevím, co je výsledek toho prvního příkladu :d

kaja(z_hajovny)

pokud mam kvadraticky vyraz se zapornym dikriminantem, tak to znamena, ze nikdy neni nula.

takze jestli ta derivace takto vychazi, je bud porad kladna nebo porad zaporna a funkce bud porad roste nebo porad klesa. Ktery z pripadu nastava zjistime (treba) dosazenim nejakeho bodu.

v nasem pripade funkce porad klesa

LamaGanja · 09. 07. 2009 13:17

↑ kaja(z_hajovny):

Takže když zadání úkolu znělo, zjístěte intervaly ryzí monotonie, tak pro mě výsledkem bylo, že f'(x)=0, f'(1)<0 a proto funkce je klesající v intervalu (-nekonečno,+nekonečno)?

halogan · 09. 07. 2009 13:18

↑ Rumburak:

Mohu integrovat takto najednou, když cosinus od 0 do pí mění znaménko?

u_peg · 09. 07. 2009 13:23

$\forall{x}\in{D}(f): f'(x)=-3x^2-2x-77<0$
Funkca f je teda klesajuca na celom D(f).

Rumburak

↑ halogan:
První úprava je metodou per partes, kde bereme u(x) = 3x, v'(x) = cos x .
Předpoklady věty o int. per partes jsou splněny, neboť u'(x) = 3 , PF k cos x je např. v(x) = - sin x, a s axistencí integrálů rovněž nejsou problémy
(interval je omezený, integrované funkce jsou spojité na jeho uzávěru), další předpoklady na chování funkcí věta nemá.

Druhá úprava je vyjádřením integrálu pomocí primitivní fce, ani zde není nutno předpokládat, aby funkce měla stálé znaménko.

Možná, že tě zmýlila věta o substituci, kde v některém z jejích tvarů vystupuje požadavek, aby substituovaná funkce byla mj. ryze monotonní,
tudíž aby její derivace neměnila znaménko.

Pokud jsem přehlédl nějakou chybu, prosím o konkretnější nasměrování ...

halogan · 10. 07. 2009 11:24

↑ Rumburak:

Metodu jsem pobral a výpočet chápu, šlo mi spíš o jinou věc:

Mějme $\int_0^{\pi} \cos x\,dx$

Vyjde to tímto postupem nula, protože se odečtou dvě stejné hodnoty.

---

Je tedy moje otázka: počítáme součet všech hodnot (tj. plocha mezi křivkou a osou x) bez ohledu na jejich znaménko - tím pádem nám může vyjít nula, záporné číslo, ... nebo bereme v potaz součet všech ploch (tj. absolutní hodnota každého určitého integrálu na daném intervalu, kde funkce nemění znaménko) a nemůže nám vyjít nekladná hodnota (pokud tedy funkce vůbec nějakou plochu mezi sebou a osou má).

Omlouvám se za takový začátečnický dotaz, ale na střední škole mi to učitelka nedokázala vysvětlit a já to od té doby nevím. Co tak v rychlosti koukám, tak je nejspíš správný první postup (tj. i záporné či nulové hodnoty) a bylo mi to na škole řečeno špatně.

---

Jak nad tím tak přemýšlím, tak asi záleží na tom, zda otázka je Jaký obsah je mezi touto křivkou a osou x? nebo Kolik vyjde tento určitý integrál?. Díky moc za osvětlení.

Rumburak · 10. 07. 2009 12:05

↑ halogan:
Otázka "Jaký obsah je mezi touto křivkou a osou x?" (míněno zřejmě co do znaménka) je otázkou spíše filosofického charakteru.
Teorie určitého integrálu (existuje jich několik - Newtonova, Riemannova, Lebesgueova a další) poskytuje prostředky pro obě pojetí.

Chceme-li, aby ty části obrazce (ohraničeného známým způsobem grafem fce f) ležící pod osou x měly záporný obsah
(narozdíl od částí obrazce ležících nad osou x), pak integrujeme fci f.

Chceme-li, aby ty části obrazce ležící pod osou x měly rovněž kladný obsah (tak jako části obrazce ležící nad osou x),
pak integrujeme fci |f|.

Aby druhá z obou možností byla podchycena již integrálem z funkce f, muselo by v definici itegrálu (jakožto pojmu, tj. v definici
Newtonově, Riemannově atd. jak uvedeno výše) vystupovat znaménko fce f (nebo přímo absol. hodnota z f) , což se neděje,
jak snadno zjistíš, když do příslušných definic nahlédneš. Integrovat přímo fci f , která mění znaménko, znamená příjmout první variantu.

halogan · 10. 07. 2009 12:11

↑ Rumburak:

Takže běžně přijímaná praxe je, že se bere obsah pod osou x jako záporný a nemusím tedy tyto změny znamének řešit.

Díky moc za info a ty zmíněné definice si projdu. Alespoň je to teď jednodušší. Na SŠ nám byla nucena druhá možnost.

Rumburak · 10. 07. 2009 13:38

↑ halogan:
Nerad bych se dopouštěl nejaké paušalisace odvoláváním se na "běžně přijímanou praxi".

Myslím, že je nutno pojmově poněkud oddělit "výpočet integrálu" a "výpočet obsahu plochy".
Platí, že VI je metodou použitelnou pro VOP a zda ji použiji prvým či druhým způsobem, vždy bude záviset na povaze té které úlohy.

Pro ještě větší pochopeni:
Část obrazce "nad osou x" může znamenat můj pozemek, který někomu pronajímám, část "pod osou x" pak cizí pozemek, který mám pronajat já.
Předpokládejme, že výše nájmu za jednotku plochy je v obou případech stejná.
Chci si nejprve spočítat, do jaké míry a zda vůbec se mi takové obchodování vyplatí: výše mých příjmů z nájemného vybraného za první pozemek
po odečtu mých výdajů na nájemní poplatky za druhý pozemek (tedy jakýsi čistý příjem) bude přímo úměrná integrálu z funkce f .
Jestliže mne ale bude zajímat obrat, tedy součet příjmů a kladně měřených výdajů, pak použiji integrál z |f|.

Jako vhodnou literaturu ke studiu Riemannovy definice integrálu mohu doporučit
Vojtěch Jarník: Integrální počet I.

halogan · 10. 07. 2009 14:01

↑ Rumburak:

Myslím, že je nutno pojmově poněkud oddělit "výpočet integrálu" a "výpočet obsahu plochy".

Proto jsem se ptal. Zda VI = VOP nebo VI = VO|P|.

Díky, nějak to celé projdu.

Matematické Fórum

#1 08. 07. 2009 13:10

Matematická analýza

#2 08. 07. 2009 13:20 — Editoval Rumburak (08. 07. 2009 13:28)

Re: Matematická analýza

#3 08. 07. 2009 13:22

Re: Matematická analýza

#4 08. 07. 2009 13:25

Re: Matematická analýza

#5 08. 07. 2009 13:32

Re: Matematická analýza

#6 08. 07. 2009 13:38

Re: Matematická analýza

#7 08. 07. 2009 13:41

Re: Matematická analýza

#8 08. 07. 2009 13:50

Re: Matematická analýza

#9 08. 07. 2009 13:53

Re: Matematická analýza

#10 08. 07. 2009 14:10

Re: Matematická analýza

#11 09. 07. 2009 12:55

Re: Matematická analýza

#12 09. 07. 2009 13:06 — Editoval kaja(z_hajovny) (09. 07. 2009 13:08)

Re: Matematická analýza

#13 09. 07. 2009 13:17

Re: Matematická analýza

#14 09. 07. 2009 13:18

Re: Matematická analýza

#15 09. 07. 2009 13:23

Re: Matematická analýza

#16 10. 07. 2009 10:30 — Editoval Rumburak (10. 07. 2009 10:41)

Re: Matematická analýza

#17 10. 07. 2009 11:24

Re: Matematická analýza

#18 10. 07. 2009 12:05

Re: Matematická analýza

#19 10. 07. 2009 12:11

Re: Matematická analýza

#20 10. 07. 2009 13:38

Re: Matematická analýza

#21 10. 07. 2009 14:01

Re: Matematická analýza

Zápatí