Matematické Fórum

Ginco · 09. 07. 2009 21:34

chtěl bych se zeptat :
je $0^0=1$ ?

VitusH · 09. 07. 2009 21:51

↑ Ginco:

nedeterminováno...

lukaszh · 09. 07. 2009 21:52

↑ Ginco:
Ako píšeš sám, neurčitý výraz.

Ginco · 09. 07. 2009 22:43

↑ lukaszh:

Ok, tak teď mám další dotaz

uvažuji řadu : $\sum_{n=0}^{\infty}n^nx^n$

pak vím, že $x_0=0$

A vím, že každá mocninná řada konverguje ve svém středu, ať je posloupnost koeficientů jakákoliv.

$\sum_{n=0}^{\infty}n^nx_0^n=a_0+0+0+...$

ovšem pro naší posloupnost koeficientů $(n^n)_{n=0}^{\infty}$ platí, že $a_0=0^0$

což je tedy neurčitý výraz(takze to není číslo) a daná mocninná řada nekonverguje ve svém středu?
To se mi ale nezdá, tak kdyby to někdo osvětlil pls.

lukaszh · 09. 07. 2009 23:12

↑ Ginco:
Pre určité potreby sa to tak definuje. Raz sme tu s kolegom haloganom riešili nejaké jeho témy a medzi nimi aj binomická veta
$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^kb^{n-k}$
Čo ak a=0?
$(0+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}0^kb^{n-k}=\underline{0^0}b^n+n0^1b^{n-1}+\cdots$

lukaszh · 09. 07. 2009 23:17

Pre 0^0 = 0
$\lim_{\omega\to0}0^\omega=0$

Pre 0^0 = 1
$\lim_{\omega\to0}\omega^\omega=1$
$\lim_{\omega\to0}\omega^0=1$

Ale čo ak $0^0=\rm{e}^{\,\pi}$ ?

Ginco · 09. 07. 2009 23:25

↑ lukaszh:

takže v některých situacích je 0^0 rovna jedné. viz binomická věta, kde se to tak používá

Marian · 10. 07. 2009 10:52 — Editoval Marian (10. 07. 2009 10:54)

↑ lukaszh:↑ Ginco:

Problém u této řady lze hledat v samotné definici funkcionální řady. Funkční řada $\sum_{n\in I}f_n(x)$ se uvažuje vždy na takové číselné množině (třeba reálných čísel) D, kde pro všechna $x_0\in D$ a všechna $n\in I\subset\mathbb{Z}$ (I je indexová množina) má smysl psát výraz $f_n(x_0)$ . V našem případě je $I=\mathbb{N}_0$ . Připustíme-li existenci výrazu $0^0$ (z rozličného důvodu), lze o objektu $\sum_{n=0}^{\infty}n^nx^n$ hovořit jako o funkcionální řadě. Nepřipustíme-li existenci takového výrazu, nemůžeme o takovém objektu hovořit jako o funckionální řadě a tudíž na takový objekt není možné vztahovat jakékoliv tvrzení platné pro funkcionální řadu.

Zdůrazňuji, že je zapotřebí vždy jednat o tom, jak množina D vypadá. Podobným úvahám je nutné podrobit i samotnou indexovou množinu I, obzvláště ve spojitosti s množinou D.

Ginco · 10. 07. 2009 12:40 — Editoval Ginco (10. 07. 2009 12:40)

↑ Marian:

Možná, že tento příspěvek vyzní jako, že jsem Tvůj nepochopil, ale "přišel" jsem na něco.

Pokud u mocninných řad uvažuji interval $I=\mathbb{N}_0$ , tak pro první člen této libovnolné funkční řady platí :

$f_0(x_0)=a_0\cdot{0^0}=a_0\cdot{1}=a_0$ kde x_0 je střed dané řady

Takže z toho vyplývá, že argument 0^0 je pro mocninné řady vždy roven jedné.

Je má úvaha správná?

Marian · 10. 07. 2009 14:24 — Editoval Marian (10. 07. 2009 14:25)

↑ Ginco:
Upozorňuji, že musíš vycházet z definice funkcionální řady na množině D. Musí mít smysl všechny funkce f_n(x), kde x je libovolné číslo z množiny D. Nepřisoudíš-li význam nebo existenci třeba výrazu f_0(0), kde 0 je z D, pak nelze hovořit o funkcionální řadě. Pokud je problematickým bodem bod x=0, lze jej vyloučit z množiny D. Nebo naopak, necháme tento bod v množině D a změníme indexovou množinu (třeba na množinu všech kladných celých čísel). Poslední možností je přisoudit "neurčitému" výrazu jistou hodnotu (definitoricky) a dále počítat podle takové definice. Možností je třeba toto

Tudíž podle takové definice pak je $x^0=1$ nezávisle na tom, jaké $x\in D$ zvolíme.

Marian · 10. 07. 2009 14:35 — Editoval Marian (10. 07. 2009 14:35)

↑ lukaszh:
Ak a=0 ..., nemusíme použít binomickou větu. Jednoduše je (0+b)^n=b^n. Pokud by se nyní poznamenalo, že za předpokladu, že položíme 0^0:=1, pak platí binomická věta pro všechna komplexní čísla.

Podobná je situace třeba pro konečnou geometrickou řadu s kvocientem q=1, přičemž pro q různé od 1 platí jakási formule. Limitním přechodem pak "dostaneme" i případ q=1, který se však dá spočítat bez v jistém smyslu "pochybné" úvahy jako je limitní přechod -- analogie u binomické věty pro a=0.

Marian · 10. 07. 2009 14:48

Zajímavá diskuze proběhla na toto téma zde. Je tam probráno více aspektů, mimo potenční řady také kombinatorický aspekt.

Matematické Fórum

#1 09. 07. 2009 21:34

neurčitý výraz

#2 09. 07. 2009 21:51

Re: neurčitý výraz

#3 09. 07. 2009 21:52

Re: neurčitý výraz

#4 09. 07. 2009 22:43

Re: neurčitý výraz

#5 09. 07. 2009 23:12

Re: neurčitý výraz

#6 09. 07. 2009 23:17

Re: neurčitý výraz

#7 09. 07. 2009 23:25

Re: neurčitý výraz

#8 10. 07. 2009 10:52 — Editoval Marian (10. 07. 2009 10:54)

Re: neurčitý výraz

#9 10. 07. 2009 12:40 — Editoval Ginco (10. 07. 2009 12:40)

Re: neurčitý výraz

#10 10. 07. 2009 14:24 — Editoval Marian (10. 07. 2009 14:25)

Re: neurčitý výraz

#11 10. 07. 2009 14:35 — Editoval Marian (10. 07. 2009 14:35)

Re: neurčitý výraz

#12 10. 07. 2009 14:48

Re: neurčitý výraz

Zápatí