Matematické Fórum

To je nějaký divný příklad.

Ohledně těch počátečních podmínek - to se nedá takto jednoduše říct "určit počáteční podmínky". Počáteční podmínky si můžeš obecně stanovit jakkoliv, cívkou může téce jakýkoliv proud a na kondenzátoru být libovolné napětí. Není nic, co by tomu bránilo.

Samozřejmě - pokud se za tím skrýván nevyslovené "už před časem t=0 byl obvod v ustáleném stavu", tak je to tak jak říkáš, tedy cívka se nahradí zkratem a kondenzátor rozpojením.

Jenže když v čase t=0 rozepneme ten spínač, vůbec nic dalšího se nestane. Kondenzátorem netekl proud už předtím a nepoteče jím tedy ani potom. A napětí na kondenzátoru zůstane pořád stejné. Bude vlastně odpojený od obvodu.

Pokud jde o rovnice - tak bohužel se nedá dělat nic jiného, než mít jednu sestavu rovnic pro čas t<0 a druhou rovnici (ta bude už jen jedna) pro čas t>0. A v té druhé rovnici už kondenzátor nebude vůbec figurovat, protože je odpojený od obvodu. Případně teda, když se budeš moc snažit, dostaneš pro něj samostatnou rovnici s výsledkem Uc = const.

Že ti vyšlo, že v nekonečném čase bude kondenzátor vybitý je blbost. Jak jsi k tomu došla?

Takže pokud bude spínač rozepnutý, můžeme napsat rovnici jednoduše (všechna malá písmena, jako u nebo i znamenají časově proměnné hodnoty):

[mathjax]u = R_1 \cdot i + L \frac{d}{dt}i + R_2 \cdot i[/mathjax]

A k tomu teda v principu rovnici pro napětí na (odpojeném) kondenzátoru:

[mathjax]u_c = \frac{1}{C}\int i_c dt[/mathjax]

A protože při rozpojeném spínači je proud kondenzátorem nulový, můžeme ji rovnou vyřešit a dostaneme

[mathjax]u_c = \frac{1}{C}\int 0 dt = const[/mathjax]


S tím, že k tomu potřebujeme ty počáteční podmínky - třeba v čase t=0 musíme znát hodnotu proudu tou cívkou a hodnotu napětí na tom kondenzátoru.

No a teď to čím členem v závorce můžeme zase vynásobit, a dostaneme zase smysluplnou rovnici:

[mathjax]u = R_1 \cdot i + L \frac{d}{dt}i +\frac{1}{(\frac{1}{R_2}  + C \frac{d}{dt})} \cdot i[/mathjax]

[mathjax](\frac{1}{R_2}  + C \frac{d}{dt}) \cdot u = (\frac{1}{R_2}  + C \frac{d}{dt}) \cdot R_1 \cdot i + (\frac{1}{R_2}  + C \frac{d}{dt}) \cdot L \frac{d}{dt}i + i[/mathjax]

Pro rovnici 2. řádu potřebujem dvě počáteční podmínky, což je zpravidla tedy zase proud cívkou a napětí na kondenzátoru.

Vzhledem k tomu, že jde o pasivní systém, tak když je u konstantní, skončí nakonec v ustáleném stavu, který najdeme tak, že všechny derivace položíme rovné nule, a zůstane nám jen [mathjax]u = (R_1 + R_2)i[/mathjax], na což jsi přišla taky i bez toho abys takto složitou rovnici sestavovala.


Pokud chceme analyzovat co se stane při rozepnutí spínače, třeba v čase t=0, musíme to napětí na kondenzátoru a proud cívkou co nám vycházejí v té první rovnici v čase t=0 pak dosadit do t0 druhé rovnice v čase t=0.

Takže pro první rovnici to nebudou "počáteční podmínky" ale spíš "koncové podmínky".


Pokud ale platí ten nevyslovený předpoklad, že před rozepnutím spínače je systém v ustáleném stavu, tak celá tahle námaha se sestavováním plnohodnotné rovnice je zbytečná, a můžeme rovnou sestavit rovnici pro ustálený stav - tím že cívku nahradíme nulovým odporem a kondenzátor nekonečným (cívku propojíme, kondenzátor odstraníme).