Matematické Fórum

↑ Richard Tuček: Díky za odpověď. Ovšem nevím, zda-li jsme se přesně pochopili. Z toho co jsem psal, bylo možné poznat, že s oběma přístupy jsem obeznámen. Na první otázku jste mi však neodpověděl vůbec. A na druhou jen z časti.
A k tomu co jste psal mám jeden dotaz. Odkud víme, že každý člen oné první posloupnosti je menší než 3?

↑ Chobot:

Ahoj, pro odhad [mathjax] e<3 [/mathjax]  muzes zkusit napriklad vyuzit nerovnost

[mathjax] {\displaystyle  \frac{1}{n!} = \frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdots\frac{1}{n} \leq \frac{2}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdots\frac{1}{2} = \frac{2}{2^n}  } [/mathjax]

↑ Richard Tuček: Děkuji. Toto je velmi jednoduché ohraničení. Dokážete najít nějaké přesnější? Nehledě na to, že jste mi opět neodpověděl. :-D

↑ Chobot:
Ahoj,
jak máš definováno číslo e?
jak vypadá ten Bernoulliho odhad?

↑ Chobot:

Ahoj, no nesmis odhadnout tu prvni jednicku dvojkou:

[mathjax] {\displaystyle \mathrm{e} \; = \; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \; = \; 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} \; \leq \;  1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{2^n} \; = \; 1 +2 \; = \; 3} [/mathjax]

↑ Chobot:

No tak podobne lze odvodit odhad [mathjax] {\displaystyle  \frac{1}{n!} \; \leq \; \frac{9}{2\cdot3^n}  } [/mathjax], potom

[mathjax] {\displaystyle \mathrm{e} \; = \; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \; = \; 1+1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!} \; \leq \;  1+1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{9}{2\cdot 3^n} \; = \; 2 +\frac{3}{4} \; = \; \frac{11}{4} \; = \; 2,75} [/mathjax]

EDIT: Pokud se nepletu, tak castecne soucty [mathjax] {\displaystyle \frac{(-1)^n}{n!} } [/mathjax] osciluji kolem [mathjax] {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}} } [/mathjax]. Ziskas tak horni a dolni odhady pro cislo [mathjax] {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}} } [/mathjax] a z nich lze ziskat horni a dolni odhady pro [mathjax] \mathrm{e} [/mathjax]. Moznosti je ale urcite vic.

↑ Chobot:
Mně šlo o to jakou definici používáš ty, ale pokud obě, tak ok.
Jinak libovolně přesný horní odhad dostaneš z výrazu [mathjax](1+\frac{1}{n})^{n+1}[/mathjax] volbou dostatečně velkého n, což je klesající posloupnost, jejíž limita je číslo e. Ale je možné, že konverguje pomalu.