Matematické Fórum

Stačí asi pochopit, čím se jednotlivé extrémy od sebe liší.

Extrém (volný extrém) je vrcholek nebo dolík nějaké funkce (ve tvém případě funkce 2 proměnných, ale může to být i více). Nutná podmínka, pro spojitou funkci je, že obě derivace (podle obou proměnných) musejí být rovny nule. Což je tak nějak logické, na vrcholku či v dolíku. Každopádně - jde o lokální extrém.

Když je těch lokálních extrémů více, tak z nich můžeme vybrat ten nejvyšší (nejnižší) a tomu říkáme globální extrém. Ale to už není z hlediska matematické analýzy nijak důležité. Globální extrém je jeden z těch lokálních, když má funkce jen jeden lokální extrém, tak je zároveň i globální, to je asi celkem jasné.

Předchozí platí, když není rozsah těch proměnných ničím ohraničený. Pokud ano, třeba nějakým obdélníkem typu 5 < x < 10 a 8 < y < 16, tak se může stát, že se nějaký extrém vyskytuje i na této hranici, ale přitom samotná funkce tam žádný extrém nemá. Ale na hranici dosahuje nejvyšší hodnoty, protože co je za hranicí už se nebere v úvahu. Extrémy na hranicích hledáme jako vázané extrémy (viz níže), tam kde je hranice spojitá čára, a tam kde není (kde má náš obdélník rohy) musíme ještě prověřit ty body nepojitosti zvlášť. Protože se může stát, že nejvyšší hodnotu bude mít funkce zrovna v tom rohu.

Vázaný extrém je asi nejsložitější na pochopení - jde o extrém, kdy máme sice funkci dvou proměnných, ale nehledáme maximum v celé rovině, ale jenom podél nějaké křivky - ta křivka právě zajišťuje tu "vazbu". Když si představíš třeba platickou mapu Vysočiny, a po ní vede dálnice D1, tak hledání vázaného extrému je hledání nejvyššího bodu na té D1, která vede přes Vysočinu. Zatímco volný extrém by bylo hledání nejvyššího bodu celé Vysočiny.

A i u vázaných extrémů platí, že body nespojitosti té vazební podmínky musíme prověřovat zvlášť.

U všech extrémů platí, že analyticky (přes ty derivace) najdeme jen lokální extrémy - tj. každý vrcholek či dolík, a pokud chceme globální extrémy, musíme to z nich vybrat.

Vázané extrémy se hledají tou metodou Lagrangeových multiplikátorů. Za mě jedna z moc hezkých věcí v diferenciálním počtu, protože relativně složitý problém (vázaný extrém) se dá najít takto v podstatě jednoduše.

↑ MichalAld:
Děkuji mnohokrát... a děkuji za to přirovnání skrze D1, velmi mi to pomohlo.