Matematické Fórum

surovec napsal(a):

↑↑ MichalAld:
Krom toho lze analytický postup použít i na rovnice s proměnnými místo pevně daných koeficientů.

Ovšem i tak by šla ta numerická metoda upravit, že by namísto s čísly pracovala s výrazy....

Každopádně analytické řešení je hezčí. :-)

surovec napsal(a):

↑↑ MichalAld:
Já myslím, navzdory často proklamovanému tvrzení, že výhodnější je řešit kubickou rovnici analyticky. Při správném použití je to triviální a vede okamžitě k přesnému výsledku, bez nějakých prvotních odhadů (jejichž stanovení má nějaká svá další pravidla) a následného numerického přibližování v kdo ví kolika krocích. Krom toho lze analytický postup použít i na rovnice s proměnnými místo pevně daných koeficientů.

Do filozofické debaty, jestli je lepší algebraické nebo numerické řešení se pouštět úplně nechci. Já byl zase vychován v tom, že numerická řešení jsou něco extravagantního a složitého, co není použitelné pro normální lidi, a přitom je to častokrát reálně jednodušší.

Každopádně - ta představa "přesného řešení" platí jen dokud jsou tam ta písmenka. Jakmile dosadíme čísla, tak už to stejně není pravda. Ty odmocniny nakonec počítáme numericky taky, akorát že to nevidíme. Navíc - počítat odmocniny z komplexních čísel, jak je to v těch Cardanových vzorcích, taky není úplně triviální problém. Je klidně možné, že je to nakonec výpočetně náročnější nežli hledat numericky řešení přímo toho polynomu.

Ale hlavně - numerické metody jsou dost univerzálně použitelné. Polynom 3. stupně není ničím speciální, příště budeme mít 4. stupeň (to ještě taky nějak jde, co si vzpomínám, jen jsou vzorce zase o poznání složitější), a popříště pátý stupeň, a to už nejde vůbec. Zatímco Newonovo iterování nám bude fungovat na každý polynom. A metoda půlení intervalu snad ani nefungovat nemůže...

mák napsal(a):

Pokud je kubická rovnice ve tvaru [mathjax]x^3+A\,x^2+B\,x+C[/mathjax]
a když zjistíme jakýmkoli způsobem jeden reálný kořen [mathjax]x_{1}[/mathjax], pak další dva jsou:
[mathjax]\left[ x_{2}=-\left({{\sqrt{-\left(3\,x_{1}^2\right)-2\,A\,x_{1}-4
\,B+A^2}+x_{1}+A}\over{2}}\right) , x_{3}={{\sqrt{-\left(3\,x_{1}^2
\right)-2\,A\,x_{1}-4\,B+A^2}-x_{1}-A}\over{2}} \right] [/mathjax]

Jé, to je hezké.
Protože najít jeden kořen jde tou Newtonovou metodou hezky, protože jeden kořen je vždycky reálný. Zatímco ty zbylé dva už mohou být komplexně sdružené, a ty už tedy iterováním v reálném oboru nenajdeme, což je blbé, protože se těžko poznává, že opravdu neexistují. A tohle mi přijde značně jednodušší než dělit polynom tím jedním kořenem.

↑ MichalAld:
Ale to je přesně to, o čem jsem psal – o neúplném nepochopení toho, jak řešit kubickou rovnici. Není potřeba odmocňovat komplexní čísla, to jde řešit i bez toho (koukni na předchozí stránku). Co se týče rovnic pátého a vyššího stupně, také není pravda, že nejdou řešit analyticky. Jdou (všechny) a část z nich dokonce v radikálech.

↑ MichalAld:
Pro teoretické úvahy kdy potřebuješ znát tvar (výraz) toho řešení, ti numerický tvar moc nepomůže.... i když jsou metody, které dovedou číslo aproximovat nějakým výrazem...