Matematické Fórum

↑ misaH: Dík, práve som tú vetu vymazal, som si uvedomil, že to hlúposť. Až potom som našiel, že ste na to už reagoval.

Důkaz už tak triviální není. Ale jinak - existuje něco co se nazývá prvočíselný rozklad.

Každé celé číslo lze rozložit na součin prvočísel.

No a při dělení můžeme jednotlivá prvočísla mezi sebou vykrátit. Pokud nám ve jmenovateli zůstanou jen dvojky a pětky, tak to lze v námi používané desítkové soustavě zapsat konečným počtem číslic. Jakákoliv jiná čísla ve jmenovateli vedou na nekonečnou, ale periodickou řadu. V jiných číselných soustavách je to analogicky, takže třeba ve dvojkové musí zůstat ve jmenovateli jen dvojky. A třeba číslo 0.2 (1/5) má ve dvojkové soustavě nekonečný rozvoj.


U odmocnin je to ještě jednodušší. Aby vyšla odmocnina celé číslo, musí být pod odmocninou to číslo 2x. Tedy třeba [mathjax]\sqrt{3\cdot3\cdot5\cdot5}=3\cdot5[/mathjax]

Odmocnina z prvočísla má vždy nekonečný rozvoj, a vždy neperiodický, tj. neodpovídá to žádnému zlomku. To není tak těžké dokázat, ale blbě se to chápe. Ale můžu to zkusit. Třeba si představ, že

[mathjax]\sqrt{2}=\frac{a\cdot b \cdot c \cdot \cdot \cdot}{x \cdot y \cdot z  \cdot \cdot \cdot}[/mathjax]

Ta čísla nahoře a dole jsou navzájem odlišná, protože jinak bychom je mohli vykrátit. No, teď to umocníme a vynásobíme jmenovatelem, takže dostaneme:

[mathjax]2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot  \cdot \cdot = a \cdot a \cdot  b \cdot  b \cdot \cdot \cdot [/mathjax]

Každé číslo je tam 2x, ale ta dvojka jen jednou. I kdyby jedno z těch čísel napravo byla dvojka, tak to dvojkou pokrátíme  a zase bude jen jednou napravo (ta dvojka).

A protože prvočíselný rozklad je jednoznačný, tak se to nikdy nemůže rovnat.

↑ MichalAld:Super, ďakujem, prečítam si to ešte doma pri pití Ouza.

↑ MichalAld:
Škoda že taky nemáš vlastní webové stránky... :-)

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Škoda že taky nemáš vlastní webové stránky... :-)

...
To jako že byste se mohli bavit tím, co tam píšu za ptákoviny?

MichalAld napsal(a):

Pokud nám ve jmenovateli zůstanou jen dvojky a pětky, tak to lze v námi používané desítkové soustavě zapsat konečným počtem číslic. Jakákoliv jiná čísla ve jmenovateli vedou na nekonečnou, ale periodickou řadu.

Tohle by si možná taky zasloužilo vysvětlit. Je třeba si uvědomit, co náš zápis v desítkové soustavě vlastně znamená. Když vezmeme číslo třeba 27.31, tak to můžeme přepsat na následující součet:

[mathjax]27.31 = 2 \cdot 10 + 7  \cdot 1 + 3 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.01 [/mathjax]

a to je to samé jako

[mathjax]27.31 = 2 \cdot (2 \cdot 5) + 7  \cdot 1 + \frac{3}{(2 \cdot 5)} + \frac{1}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)}[/mathjax]

A to samozřejmě můžeme převést na společného jmenovatele ve tvaru [mathjax]\frac{ \cdot }{(2 \cdot 5)^n}[/mathjax]

Teď už by mělo být zřejmé, že zlomky co mají ve jmenovateli i jiné číslo než dvojku nebo pětku na tenhle tvar nepřevedeme.

Že podíl dvou celých čísel, vede na periodickou řadu si zase můžeme odvodit z toho, jak nás na základní škole učili dělit. Že nám vždycky vyjde ten zbytek, který je menší než číslo kterým dělíme. K němu pak připíšeme tu nulu a pokračujeme dále. Ale jde o ten zbytek - je vždycky menší než číslo kterým dělíme, a tudíž má jen konečný počet možností, jakých může nabývat. A pak se to začne opakovat. Když máme "štěstí", může ta perioda být i dost dlouhá, ale nakonec se vždycky dostaneme do stavu, kde už jsme předtím byli.

Pozdravujem,

Troska vseobecnrjsia uvaha. 

Zaujimave otazky, zaujimave odpovede. 
Co sa tyka definicii racionzlnuch cisiel a aj iracionzlnych cisiel ich definicie boli vyssie spravne pripomenute.

No dokazat ci nejake dane cislo je napr. racionzlne alebo nie. dokaz moze byt komplikovany. 

A no to priklady nechybaju. 

A tiez, dnes pre niektore cisla zatial nevieme kde ich zaradit. 
Len jedrn priklad : [mathjax]\pi + e[/mathjax] tento sucet dvoch irarionalnych cisiel je ake cislo.?

Ak ste studovali vladnosti realnych cisiel, tak viete zaradit niektore cisla.  …. Ale bieme ze je este nekonecnr vela cisiel bez odpovede na ich zaradenoe…,

↑ check_drummer:
Když ještě existovalo fórum na Aldebaranu, tak jsem tam vymysleli, že bychom tam udělali i nějakou takovou miniwiki, protože občas nějaké ty věci, na které jsme tam přišli by stály za to, aby neupadly v zapomění (protože to byly věci které se ani v knížkách třeba nevyskytují). Dokonce to tam i někdo z adminů zkusil rozjet, ale nějak se mu nepodařilo rozchodit ten TEX, protože tamní nastavení serveru nedovolovalo spouštět nějaké externí programy (detaily přesně nevím, ale prostě matematické vzorce se nepodařilo rozchodit, a bez toho to tak nějak nemělo smysl).

Já jsem zkoušel psát něco na normální wiki (že bych přeložil něco z té anglické, když jsem to na české nenašel), ale nějak jsem zjistil, že nedokážu text, co obsahuje kupu těch znaků, co na české klávesnici nejsou, nějak normálně napsat. Vlastně nevím, jak to čeští wikisté dělají. Na anglické klávesnici s tím žádný problém nemám, ale na té české ... prostě nevím, jak se to dělá. Když tam většina těch znaků není.

↑ check_drummer:
S háčkama a čárkama? Na anglické, samozřejmě.
Na české s tím, co je normálně na tom horním řádku, co si česká zabrala na ty háčky a čárky. Tedy !@#$%^&*()-=[]{}

Když třeba píšu program, tak to dělám na anglické, tam háčky a čárky moc nepotřebuji. A když jo, tak si přehodím klávesnici.
Když píšu český text, tak zas nepotřebuji ty paznaky. Ale na wiki, kde je pořád nějaké formátování, tam ty paznaky potřebuji pořád. A háčky+čárky taky. A to prostě nevím, jak mám dělat (a zároveň mít nějakou normální rychlost psaní, těch 150 znaků za minutu, třeba).

No když píšu na český klávesnici, a chci napsat třeba @, tak stisknu pravý alt + 2, pro znak # pravý alt + 3, pro znak $ pravý alt + 4 atd. Všechny znaky co potřebuji, tam jsou. Další znaky jsou třeba přes pravý alt+ shift + nějaká klávesa.

Takhle zhruba vypadá česká klávesnice.

Každá klávesa má 4 znaky. České malé, nad tím je písmeno se shiftem (buď velké, nebo číslo). Vlevo od něj s pravým Alt a nad ním pravý Alt+Shift.

Ještě mě napadlo, že by šla hezky dokázat iracionalita při logaritmování. Mějme třeba [mathjax]\log_2 3[/mathjax] a předpokládejme, že je to racionální číslo. Tedy že by platilo:

[mathjax]\log_2 3 = \frac{a}{b}[/mathjax]  (a,b jsou celá čísla).

Potom by tedy muselo platit, že

[mathjax]2^\frac{a}{b}=3[/mathjax]

tedy

[mathjax]2^a = 3^b[/mathjax]

[mathjax]2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cdot \cdot = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot[/mathjax]

A zase je zřejmé, že tohle není nikdy možé splnit. Součin dvojek nikdy nebude rovný součinu trojek, ať už je jich kolik chce - to by zase narušovalo jednoznačnost prvočíselného rozkladu.

↑ mák:
Ahoj, mně to s tím pravým altem nefunguje. Navíc na té klávesnici co tam máš pravý alt není. :-)