Matematické Fórum

check_drummer · 21. 01. 2024 23:41

Pro které reálné x, x>2 platí $x^{x} = (x - 1)^{x + 1}$ ?

Co je zajímavé, tak v desetinném zápisu toho čísla (dle wolfram alpha) se časo vyskytují 2 stejné číslice za sebou.

osman · 23. 01. 2024 13:54 — Editoval osman (23. 01. 2024 13:58)

Ahoj, neznaje analytické řešení, zvolil jsem přibližný výpočet pomocí tužky a papíru. Napřed jsem si rovnici upravil na

$x - (\frac{x}{x - 1})^{x} = 1$

pak jsem si za $x$ postupně dosadil hodnoty $3, 4, 5$ :

$x = 3$ $3 - \frac{27}{8} = - 0, 375$

$x = 4$ $4 - \frac{256}{81} ≐ 0, 84$ $Δ_{3, 4} ≐ 1, 21$

$x = 5$ $5 - \frac{3125}{1024} ≐ 1, 95$ $Δ_{4, 5} ≐ 1, 11$

Protože se to chová víceméně lineárně, dovolil jsem si dopočítat rozdíl do jedné $(0, 84 + 0, 16 = 1)$

jako lineární interpolaci $\frac{16}{111} ≐ 0, 144$ Vyšlo mi tedy $x ≐ 4, 144$

Když jsem to dosadil do kalkulačky, spočítala $x - (\frac{x}{x - 1})^{x} = 1, 0033481. . .$

(Přesnost na tři promile mi připadá při tak primitivním postupu docela slušná:)

Eratosthenes · 03. 03. 2024 23:28

↑ check_drummer:

Matlab:

format long
x=2;
for i=0:200
x=(x/(x-1))^x+1
end;

x=4.141041525410789 +- 5*10^(-16)

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2024 23:41

Rovnice s neznámou v základu i v exponentu

#2 23. 01. 2024 13:54 — Editoval osman (23. 01. 2024 13:58)

Re: Rovnice s neznámou v základu i v exponentu

#3 03. 03. 2024 23:28

Re: Rovnice s neznámou v základu i v exponentu

Zápatí