Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 09. 03. 2024 22:53 — Editoval Miky23 (09. 03. 2024 22:54)
Kvadratická rovnice
Dobrý večer,po výpočtu tohoto zadání mi vyšel výsledek 1 . Je výsledek správný ?
součet kořenů x1+x2=−bax1+x2=−ab a součin kořenů x1⋅x2=cax1⋅x2=ac.
Součet druhých mocnin kořenů, x12+x22x12+x22
výpočet pomocí identit:
(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22
Odtud:
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
Dosadím hodnoty x1+x2x1+x2 a x1⋅x2x1⋅x2 a spočítám součet druhých mocnin kořenů.
a=1a=1
b=ib=i
c=−1c=−1
x1+x2=−i1x1+x2=−1i
x1⋅x2=−11x1⋅x2=1−1
x12+x22x12+x22.
Součet druhých mocnin kořenů je 1.
Offline
#2 10. 03. 2024 07:06 — Editoval misaH (10. 03. 2024 07:17)
- misaH
- Příspěvky: 13459
Re: Kvadratická rovnice
↑ Miky23:
Tvojmu postupu nejako nerozumiem, ale - ak som sa nepomýlila, vyšiel mi výsledok 1...
Vietove vzťahy, pokiaľ viem:
x_1 + x_2 = - b/a
x_1 * x_2 = c/a
a= 1, b = i, c= -1
Vôbec nechápem tie tvoje zápisy...
Ako môžeš napísať napríklad
b=ib=i, ale sú tam aj iné "perly".
Proste nechápem:
součet kořenů x1+x2=−bax1+x2=−ab a součin kořenů x1⋅x2=cax1⋅x2=ac.
Součet druhých mocnin kořenů, x12+x22x12+x22
výpočet pomocí identit:
(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22
Ale možno sa mýlim...
Offline
#3 10. 03. 2024 07:21
Re: Kvadratická rovnice
Nelze vyloučit, že to máš správně. Mě se to ale taky nechce luštit.
Pokud má tvůj polynom kořeny p,q, tak jej můžeme zapsat jako
[mathjax](x-p) \cdot (x-q)=0[/mathjax]
tedy
[mathjax]x^2 - px - qx +pq=0[/mathjax]
[mathjax]x^2 - (p+q)x+pq=0[/mathjax]
Porovnáním s tvojí rovnicí pak dostaneme, že
[mathjax]p+q = -i[/mathjax]
[mathjax]pq = -1[/mathjax]
Potřebujeme najít, čemu se rovná [mathjax]p^2 + q^2[/mathjax], k čemuž se dostaneme, když si uvědomíme že
[mathjax](p+q)^2=p^2 + 2pq + q^2[/mathjax]
tedy že
[mathjax]p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq[/mathjax]
Dosadíme a máme
[mathjax]p^2 + q^2 = (-i)^2 - 2 \cdot (-1)=-1+2=1[/mathjax]
Offline
#5 10. 03. 2024 09:32
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: Kvadratická rovnice
↑ Miky23:
Pokusím si ty identity vyjádřit srozumitelněji
výpočet pomocí identit:
(x1+x2)^2=x1^2+2*x1*x2+x2^2
x1^2 + x2^2 = (x1+x2)^2 - 2*x1*x2
x1 + x2 = -b/a;
x1*x2 = c/a;
Symetrickou funkci kořenů můžeme určit, aniž bychom kořeny počítali.
Offline
#6 10. 03. 2024 09:51
Re: Kvadratická rovnice
Richard Tuček napsal(a):
Pokusím si ty identity vyjádřit srozumitelněji
Myslím, že srozumitelnosti by nejvíce prospělo, když byste se naučili používat ten LaTeX na psaní vzorců.
Pro odborníka tvého kalibru by to měla být práce tak na deset minut.
Offline