Matematické Fórum

↑ Richard Tuček:Jasný, Céčko jsem takto odvodil, jiným způsobem pak Déčko. Ale použijí se při tom neekvivalentní operace, takže se to "dorovnává" dalšími výrazy a mám pocit, že ten vzorec je jednodušší...

↑ MichalAld:
Hm, hezký... Ty jsi, myslím, fyzik a vy asi takový vzorec používáte dost často. Proto ho znáš? Nebo jsi ho odvodil?
Jen pro srovnání můj nepěkný vzorec:
[mathjax]A\sin x+B\cos x=-\mathrm{sgn}\,B\cdot\sqrt{A^2+B^2}\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{A}{B} \right)[/mathjax]

↑ kastanek:
On je problém, že ten arctan funguje jen v rozsahu plus minus 90 stupňů. Zbytek se musí dodělat ručně. Proto se používá ta funkce arg, která to už má schované v sobě ty věci kolem znamének. Pak je ještě další problém když povolíme že to C může být záporné

kastanek napsal(a):

↑ MichalAld:
Hm, hezký... Ty jsi, myslím, fyzik a vy asi takový vzorec používáte dost často. Proto ho znáš? Nebo jsi ho odvodil?

Tak já jsem fyzik jen tady, ale pravda je, že ve fyzice či elektronice se s tím člověk setkává pořád. Už jsem si to za život odvozoval asi 10x, a stejně to vždycky zapomenu, protože ono to zas tak úplně triviální není. Většinou se teda řeší analogický problém s komplexními čísly, tedy převést složkový tvar na exponenciální:

[mathjax]a+ib = C e^{i \varphi}[/mathjax]

Ale je to ten samý problém. Pokud tedy vyjdeme z tvého tvaru (jen tam místo D budu psát to [mathjax]\varphi[/mathjax] ať to lépe vypadá:

[mathjax]A\sin x + B \cos x = C \sin \left( x+\varphi \right)[/mathjax]

Tak první krok je použít vzorec

[mathjax]\sin(\alpha +\beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta[/mathjax]


Tak tedy dostaneme, že

[mathjax]C \sin \left( x+\varphi \right)=C \sin x \cos \varphi + C \cos x \sin \varphi[/mathjax]

a má li se to rovnat výrazu

[mathjax]A \sin x  + B \cos x [/mathjax]

tak musí platit (pokud není jasné proč to musí platit, tak klidně vysvětlím, ale přijde mi to samozřejmé), že:

[mathjax]A = C \cos \varphi[/mathjax]

[mathjax]B = C \sin \varphi[/mathjax]

No a když už máme C, tak zbývá určit ten úhel.

[mathjax]A = C \cos \varphi[/mathjax]

[mathjax]B = C \sin \varphi[/mathjax]

Můžeme použít přímo tyhle rovnice, no a nebo je dáme do poměru a dostaneme

[mathjax]\frac{B}{A} = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}=\tan{\varphi}[/mathjax]

Takže v principu

[mathjax]\varphi = \arctan \frac{B}{A}[/mathjax]

Jenže problém je, že funkce tangens je periodická s periodou [mathjax]\pi[/mathjax], takže její inverze bude fungovat jen v rozsahu [mathjax]<- \frac{\pi}{2}; +\frac{\pi}{2}>[/mathjax], česky od -90° do +90°. Zbytek si musíme vybojovat ručně.

Ten vztah [mathjax]\varphi = \arctan \frac{B}{A} + \pi [/mathjax] se docela blbě pamatuje i odvozuje (hlavně ta znaménka), já to vždycky dělám tak, aby mi vyšlo co má vyjít. Je teda možné i to, že je to blbě, a má tam být někde minus, moc se mi nad tím teď nechce bádat.

Navíc, tak jak jsem to popsal, dostaneme úhel v rozsahu -90° ... 270°, a pokud se nám to nelíbí, tak si ho ještě musíme upravit. Vzhledem k periodicitě funkci sin a cos můžeme k úhlu vždycky přičíst nebo odečíst 360° ([mathjax]2 \pi[/mathjax]) a dostaneme stejný výsledek. Takže když se nám nelíbí hodnoty v rozsahu 0 ... -90°, přičteme si 360°.

No a aby se těmihle dost komplikovanými podmínkami člověk nemusel při každém počítání zabývat, tak se používá funkce arg(x,y) nebo se také nazývá atan2(x,y), která už tohle všechno udělá za nás. Protože žádný "hezký vzorec" se na to vymyslet nedá. Obecně se to musí v každém kvadrantu počítat jinak (já jsem to trochu zjednodušil, že se dá použít vždy ve dvou kvadrantech stejný vzorec, ale pak ten úhel nevychází úplně tak, jak bychom chtěli).

Další věc je, že se taky blbě pamatuje, které z těch dvou písmenek A,B je které. Na to jsou lepší právě ta komplextní čísla, protože tam máme reálnou část (Re) a imaginární část (Im), takže v tom vzorci je vždycky [mathjax]\arctan \frac{Im}{Re}[/mathjax], což když si člověk jednou zapamatuje, tak už je navždy jasné, co je co.

Ale jinak si stačí zapamatovat to, co napsal Mák, tedy že:

mák napsal(a):

Místo funkce arg, lze použít funkci atan2 (Excel, Calc):
[mathjax]A\,\sin x+B\,\cos x=\sqrt{B^2+A^2}\,\sin \left(x+{\rm atan2}\left(A , B\right)\right)[/mathjax]

Jen je třeba vždycky dávat pozor v jakém pořadí píšeme ta písmenka do funkce atan2(x,y). Když si nejsme jistí, tak si to vyzkoušíme na nějakém jednoduchém případu, s jedničkami a nulami, třeba.