Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 18. 03. 2024 00:21
Dôkazy
Zdravim potreboval by som poradit:
1) Dokážte, že ak čísla a,b, c sú tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti,
tak platí vzťah [mathjax] (a+b+c)^{2} −3(a^{2} +b^{2} +c^{2}) +6(a−b)^{2} = 0.[/mathjax]
2)Dokážte: [mathjax]∀x ∈ R : (x
^{2} \notin Q) ⇒ (x \notin Q).[/mathjax]
3)Dokážte, že [mathjax]\sqrt[3]{2} [/mathjax] nie je racionálne číslo
4) Priamy dôkaz: Dokážte, že uvedená postupnosť je ohraničená:
[mathjax]{\frac{2n}{n+1}+\frac{n+1}{3n}}[/mathjax]
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Pepex_)
#2 18. 03. 2024 10:58
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: Dôkazy
↑ Pepex_:
ad 1)
Pokud to jsou členy aritmetické posloupnosti, pak platí:
b=a+d; c=b+d=a+2d;
Zkusil bych dosadit a počítat.
ad 2)
sporem
druhá mocnina racionálního čísla je racionální číslo
ad 3)
možná podobně jako že odm(2) není racionální číslo (přesně nevím)
ad 4)
n je přirozené číslo
zkusil bych dokázat, že 0<(2n/(n+1))<2
0<(n+1)/3n<1
Offline
#3 18. 03. 2024 12:07
Re: Dôkazy
Náznak důkazu, že odmocnina z celého čísla je buď celé číslo, nebo iracionální, jsem popsal tady:
Odkaz
Myšlenka je celkem univerzální pro libovolnou odmocninu a stejně tak lze namísto celých čísel uvažovat zlomek z celých čísel. Je to pořád to samé. Aspoň doufám.
Online
#4 18. 03. 2024 12:54
#5 18. 03. 2024 19:00
- check_drummer
- Příspěvky: 4897
- Reputace: 105
Re: Dôkazy
↑ surovec:
Můžeme to ale chápat tak, že pro spor předpokládáme, že závěr neplatí a dospějeme ke sporu s předpokladem. :-) Já bych řekl (není to ale úplně tak), že důkaz sporem je nejobecnější typ důkazu a všechny ostatní jsou jen jeho speciální případy, resp. že každý důkaz lze formulovat jako důkaz sporem - např. přímý důkaz P=>Q - pro spor předpokládejme, že Q neplatí a z P odvozujeme (přímým důkazem) Q - což je ve sporu s tím, že jsme předpokládali, že Q neplatí.... No ale je to dost umělé,.
U důkazu sporem vždycky váhám jestli není v rozporu s větou o neúplnosti - která říká že nemusí být dokazatelné ani X ani nonX, ale pak si vždycky odvodím, že není...
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#6 19. 03. 2024 00:34 — Editoval Pepex_ (19. 03. 2024 00:34)
Re: Dôkazy
↑ Richard Tuček:
1) Dakujem pomohlo.
2) Dava to zmysel ked sa dostanem do bodu kde : [mathjax]x^{2}=\frac{p^{2}}{q^{2}}[/mathjax] tak co dalej ?
3) S tymto stale neviem pohnut tak keby bol niekto taky mily a trosku mi este poradil/pomohol
4) Bolo mi poradene ze si to mam rozlozit takto:
[mathjax]\frac{7}{3} - \frac{5n-1}{3n^{2}+3n}[/mathjax]
Ale neviem ako sa k tomuto rozkladu dostat
[mathjax]\frac{5}{3} \le a_{n} \le \frac{7}{2}[/mathjax]
Offline
#7 19. 03. 2024 07:57
Re: Dôkazy
↑ Pepex_:
2) Je hotovo (p^2 i q^2 jsou celá čísla, proto p^2/q^2 je racionální).
3) Udělej to úplně stejně, jako když se dokazuje iracionalita [mathjax]\sqrt{2}[/mathjax].
4) Stačí ukázat, že posloupnost má limitu, pak je automaticky omezená. Umíte počítat limity?
Online