Matematické Fórum

↑↑ surovec:   

Kdo byl rychlejší, to je v tomto případě velmi relativní. Já jsem to jenom trochu rychleji "pověsil". Spočítal jsi to rychleji určitě ty. A asi o dost rychleji :-)

No to je tedy úžasné, moc děkuji za krásné postupy.

↑ Eratosthenes:
Myslím, že jsem se něčím podobným kdysi zabýval, a jestli si vzpomínám dobře, tak plášť kosého kuželu jde analyticky vyjádřit jen v tom případě, pokud vznikl z rotačního kuželu. Takže by tento případ šel asi řešit taky (rozdělit oplatky na dva stejné kusy).

↑ Eratosthenes:
Já si myslím, že to jde rozvinout Takto

↑ Eratosthenes:
Já vím, že to není elipsa, ale pro praktický výpočet ta křivka je s "dost" velkou přesností elipsa.

Tak jsem dospěl ke krásnému vzorci pro obsah pláště kosého kužele zadaného stejně jako při tom výpočtu objemu ([mathjax]r,v,\alpha[/mathjax]):

[mathjax]S_{pl}=\pi r v\sqrt{\frac{(v\,-\,r\,\cdot\,\tan\alpha)(r^2\,+\,v^2)}{(v\,+\,r\,\cdot\,\tan\alpha)^3}}[/mathjax]

Porovnání s polovinou obsahu pláště původního rotačního kuželu vede na rovnici

[mathjax]r^3\tan^3\alpha+3r^2v\tan^2\alpha+7rv^2\tan\alpha-3v^3=0[/mathjax],

jejímž řešením (tzn. úhel, při němž se oplatka kornoutu rozpůlí) je

[mathjax]\alpha=\arctan \left( \frac{v}{r} \, \cdot\, \left( \sqrt[3]{\frac{4}{3}\sqrt{\frac{31}{3}}+4}\,-\, \sqrt[3]{\frac{4}{3}\sqrt{\frac{31}{3}}-4} -1 \right) \right)\,\dot{=}\,\arctan\frac{0,364656v}{r}[/mathjax]

Např. pro kornout výše uvedený (r = 24, v = 115) má půlící úhel velikost 60° 13'.
(Bylo kolem toho dost výpočtů a úprav, takže možnost chyby tu je, ale experimentální ověření sedí...)

↑ Eratosthenes:
Tak pokud máš tu závislost délky površky na parametru původní kružnice

, tak máš skoro rovnici křivky ohraničující rozvinutý plášť, akorát že ne v kartézských, ale v polárních souřadnicích. A proč "skoro"? Protože takto by se plocha rozvinula do celého kruhu (360°), takže to musíme smrsknout jen na úhel výseče, jenž má hodnotu [mathjax]\gamma=2\pi\frac{r}{\sqrt{r^2+v^2}}[/mathjax]. To zařídíme transformací toho parametru [mathjax]\sin t\rightarrow \sin \left( t\,\cdot\,\frac{\sqrt{r^2+v^2}}{r}  \right)[/mathjax]. (To bylo pro mě myšlenkově asi nejnáročnější.)
Teď už stačí spočítat plochu "pod" křivkou (vzhledem k tomu, že jde o polárně vyjádřenou křivku, nejde o sloupec jako u kartézsky vyjádřené funkce, nýbrž o výseč). Pro plochu u polárně zadaných křivek je vzorec [mathjax]\frac{1}{2}\int_\delta^\varepsilon s^2(t)\, \mathrm{d}{t}[/mathjax]. Ten integrál je nepříjemnej (typu [mathjax]\int \frac{k}{(l\,+\,m\,\cdot\,\sin x)^2}\, \mathrm{d}{x}[/mathjax]), ale dá se spočítat (buď substituce za argument a následně [mathjax]\tan \frac{x}{2}[/mathjax], nebo bez výčitek použít wolframalpha), i úprava výsledného výrazu vyžaduje trochu invence. A to je celé...

↑ surovec:

Já mám

[mathjax]s(t)=\sqrt{r^2+s^2}\cdot {{v\cos\alpha-r\sin\alpha}\over  {v\cos\alpha-r\sin\alpha}\cos t}[/mathjax]

Parametrizuju od bodu dotyku řezu, délky jsem kontroloval pro t=0; t=pi, sedí to. Transformace je jasná, ale leze mi z toho nějaký integrál, který číselně vůbec nesedí. Tak jsem si říkal, že už jsem úplně zhloupnul, anebo tam mám nějakou chybu, na kterou ne a ne přijít. Když to děláme prakticky stejně, tak postup bude asi dobře a chyba, ta se (snad) někde objeví :-)

↑ surovec:

Hurá!! Utrpěl jsem vítězství :-)



Ani pořádně nevím, kde ta chyba byla. Když jsem přišel k tomu integrálu, řekl jsem si - než to začnu počítat, nechám to spočítat Wolfram s konkrétními hodnotami jestli je to vůbec dobře. "Polotovary" typu r*cos Alfa jsem počítal v excelu, buňky jsem přes texťák přenášel do wolframu a pořád to házelo nesmysly. Občas byla přenesená špatná buňka, občas nepřepsaná čárka na tečku... Dokonce už jsem i v tom integrálu zoufale přehazoval s/r na r/s a naopak jestli jsem se náhodou nezbláznil.

Teď večer jsem k tomu sednul, znovu jsem to všechno projel, kliknu na rovnítko ve woframu a hle, hle :-)

Možná to bylo tím, že na rozdíl od těch minulých pokusů mám při tom posledním v sobě tři panáky slivovice :-)

↑ surovec:

Ten integrál obecně bohužel dopočítaný nemám. Když vidím, co mi z toho leze po substituci tg u/2, kterou asi nijak neobejdu, tak to asi vzdám...

surovec napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Není to tak hrozné. Vytkni čitatel, nahraď si další výrazy a integruješ už jen [mathjax]\frac{1}{(k+l\sin x)^2}[/mathjax]. Po dosazení mezí zjistíš, že výsledkem je konstanta.

K tomu jsem dospěl taky (já tam tedy mám díky jiné parametrizaci kosinus), ale než budeš dosazovat meze, musíš to přece integrovat, ne? Nepřišel jsem na nic jiného, než tg x/2. Nebo máš něco lepšího?

↑ surovec:

Není to hrozné?  Není - je to přímo děsivé. Našel jsem si několik chyb, ještě bojuju...

Kompletní řešení úlohy, kterou vymyslel  ↑ surovec: - spravedlivé dělení oplatku (vynechal jsem jen pár posledních zcela otrockých úprav výsledného algebraického výrazu). Opticky to sice vypadá jinak než řešení ↑ surovec:, ale zřejmě je to ekvivalentní. Už se mi to nechtělo zkoumat, a tak jsem poslední (červený) výraz v závorce jenom nechal zchroustat wolframem. Číselně to sedí, tak je to snad OK.



Ještě mě napadla jedna úloha na toto téma - v jakém poměru se při spravedlivě rozděleném oplatku rozdělí zmrzlina :-) A bylo by to asi všechno, co se z toho dá dostat.