Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 03. 2024 14:03 — Editoval check_drummer (02. 04. 2024 15:14)

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

4 shodné kružnice v trojúhelníku

Ahoj,
ve svých poznámkách jsem narazil na tuto úlohu, ale její řešní mám poněkdu zmatené (neuvádím ho):

Mějme trojúhelník K=ABC a chceme do něj umístit (sestrojit) kružnice u,v,w a sestrojit kružnici x (všechny 4 se stejným poloměrem) tak, že kružnice u,v,w se dotýkají stran a,b,  a,c,  b,c  trojúhelníku K a kružnice x má s kružnicemi u,v,w vnější dotyk.

Edit: Upravil jsem textaci úlohy - uvnitř trojúhelníku musí ležet jen kružnice u,v,w.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#2 30. 03. 2024 20:35 — Editoval surovec (30. 03. 2024 20:37)

surovec
Příspěvky: 986
Reputace:   23 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ check_drummer:
Centrální kružnice má střed na úsečce spojující střed kružnice opsané a vepsané trojúhelníku ABC...

Offline

 

#3 01. 04. 2024 00:08 — Editoval check_drummer (01. 04. 2024 00:36)

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ surovec:
Ke stejnému výsledku jsem v zápiscích dospěl taky. Konkrétně tam operuju se stejnolehlostí f se středem S ve středu kružnice vepsané, která zobrazí středy U,V,W kružnic u,v,w na příslušné vrcholy A,B,C. A pokud ještě označím X střed kružnice x, a r poloměr kružnic u,v,w,r, tak mám v zápiscích, že musí platit 2r=|f(U)f(X)|, což mi není jasné... To, že to je nějaká konstanta (ať už namísto U zvolím bod V nebo W), je jasné, ale proč zrovna 2r? Ale na první pohled je to nesmysl, spíš když už tak 4r nebo tak něco... Možná to mám prostě jen špatně... To je tak, když si to píšu jenom heslovitě...

Edit: Tak už je to asi jasné, to 2r je dobře, jen to r označuje poloměr kružnic už po aplikaci té stejnolehlosti... A tedy vím, že 2r je poloměr kružnice opsané původnímu trojúhelníku. Koeficient stejnolehlosti tím pádem tedy neznám, ale asi ani není potřeba... Resp. jsem schopen ho zjistit z toho, že vím jak se původní trojúhelník zvětšil...


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#4 01. 04. 2024 14:07

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ check_drummer:
Pozdravujem,
Mala poznamka:
Tvoja analyza v tvojom poslednom prispevku tykajuca sa “2r”  ( kde 2r Jo polomer vpisanej kruznice) je dokonala. 
No vsak taka konstrucia 4 hladanych kruznic  polomeru r nie je vzdy mozna.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 01. 04. 2024 19:10 — Editoval Honzc (01. 04. 2024 19:22)

Honzc
Příspěvky: 4564
Reputace:   242 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ vanok:
Konstrukce není možná pro tupoúhlé trojúhelníky

Offline

 

#6 01. 04. 2024 20:53 — Editoval surovec (01. 04. 2024 21:01)

surovec
Příspěvky: 986
Reputace:   23 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ Honzc:
Proč myslíš, že konstrukce není možná pro tupoúhlé trojúhelníky?
Pro tupoúhlé trojúhelníky určitě kružnice existují a vsadil bych se, že jsou konstruovatelné (když už je to evidentně konstruovatelné pro ostroúhlé).
Obrázek
Tvůj vzorec, zdá se, funguje, ale právě jen pro ostro- a pravoúhlé, možná jen nějaké proměnlivé znaménko ve jmenovateli?
Check_drummer: A ty tedy konstrukční řešení víš?

Offline

 

#7 01. 04. 2024 21:06

Honzc
Příspěvky: 4564
Reputace:   242 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ surovec:
Já si myslím, že pro tupoúhlé trojúhelníky leží střed kr.opsané mimo trojúhelník a proto to nejde.

Offline

 

#8 01. 04. 2024 21:11 — Editoval check_drummer (01. 04. 2024 21:21)

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ surovec:
No to už z toho co jsem psal plyne - umím sestrojit trojúhelník f(K) a tedy tak zjistím i koeficient stejnolehlosti a pak už je to jasné...

Resp. musí se dodat, že f(X) je střed kružnice opsané trojúhelníku K a že 2s=R, kde R je poloměr kružnice opsané trojúhelníku K a s je pomoměr kružnic f(u),f(v),f(w),f(x).


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#9 01. 04. 2024 21:17

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

Honzc napsal(a):

Konstrukce není možná pro tupoúhlé trojúhelníky

A nepředpokládáš náhodou, že kružnice x musí ležet celá uvnitř trojúhelníku K?


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#10 01. 04. 2024 21:23

surovec
Příspěvky: 986
Reputace:   23 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ Honzc:
Koukni sem:
Obrázek

Offline

 

#11 01. 04. 2024 21:38 — Editoval Honzc (01. 04. 2024 21:55)

Honzc
Příspěvky: 4564
Reputace:   242 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ surovec:
Já si myslel, že všechny 4 kr. musí ležet v tom trojúhelníku (podle zadání musí)

↑ check_drummer:
Co tedy znamená "Mějme trojúhelník K=ABC a chceme do něj umístit (sestrojit) kružnice u,v,w,x se stejným poloměrem"...

Offline

 

#12 01. 04. 2024 21:39 — Editoval surovec (01. 04. 2024 22:02)

surovec
Příspěvky: 986
Reputace:   23 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ check_drummer:
Tak z toho jsem teda jelen. Z čeho víš, že 2s = R?
Taky píšeš, že "umím sestrojit f(K)", ale jak? Pokud bych to uměl, vše ostatní je zbytečné, protože bych měl rovnou středy hledaných kružnic.
↑ Honzc:
Máš pravdu, je tam psáno "do něj"...

Offline

 

#13 01. 04. 2024 23:22 — Editoval vanok (01. 04. 2024 23:23)

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

Pozdravujem ↑ check_drummer:
Podla tvojho prveho prispevku som predpokladal, ze tvoja  kruznica z ma ten isry stred ako vpisana kruznica trojuholnika. 
( a vtredy to moje pozorovanie plati). 
Tu pridam dalsie pozorovanie. 
Tri kruznice u,v,w ako pises v #1 maju ich respektivne stredy na osiach daneho trojuholnika ABC.
Co presne myslis pod pojmom vonkajsi dotyk kruznice x s  u,v,w?

Je jasne ze pre kazdy mozny polomer kruznic u, v, w tak aby sa nedotykali je mozne najst kruznicu ktora sa dotyka z vonka kruznic u,v,w   ( ide o jedno z rieseni problemu Apollonius-a typu kkk ).

Ostava urcit vhodne u,v,w ….


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 02. 04. 2024 15:12

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

↑ Honzc:
Pardon, do něj budou umístěny jen u,v,w, x může ležet i mimo, opravím zadání. Ale v principu se nic nemění, jen zmizí jedna omezující podmínka.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#15 02. 04. 2024 15:20

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: 4 shodné kružnice v trojúhelníku

surovec napsal(a):

↑ check_drummer:
Tak z toho jsem teda jelen. Z čeho víš, že 2s = R?
Taky píšeš, že "umím sestrojit f(K)", ale jak? Pokud bych to uměl, vše ostatní je zbytečné, protože bych měl rovnou středy hledaných kružnic.

No všechny 4 kružnice se zvětší, budou se  stále dotýkat a tedy vzdálenost středů těch zvětšených kružnic bude 2s. Současně ale je vzdálenost jejich středů poloměr kružnice opsané trojúhelníku K.
A f(K) sestrojíme snadno, pokud známe f(u),f(v),f(w).


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson