Matematické Fórum

↑ check_drummer: Ahoj. Asi nerozumím, jak by se mohl lišit úhel náklonu, a přitom se nelišit směr. Takže asi jo, chápeš to správně. :) Úlohu uvažujeme 2D.

↑ Anonymystik:
Ahoj, zkusím si představit to 2D zadání:
Průměty bodů A,B,C,D do nenakloněné roviny leží na kružnici, jejímž středem je průmět bodu, ze kterého jsme vypustili vozíky. Je to tak?
Doufám, že v tom případě je důkaz neplatnosti docela lehký.
Řekl bych, že se dvěma vozíkama bych to udělat uměl.

↑ Anonymystik:

Koukněte na tohle video, kde to není pro nakloněné roviny, ale pro křivé dráhy a ne pro vozíky, ale pro kuličky (nicméně princip je podobný). Snad z něj bude jasnější, jak to myslím. :)

Soryjako, ale to je podobnost jak z rádia Jerevan.
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb po nakloněné rovině se mi zdá fakt dost jiný.

Proč průměty bodů? A proč kružnice se středem, odkud vozíky vypouštíme? Nic takového řečeno nebylo - a neplatí to. :)

Představa  podobná jako "prkna nad sebou": několik nakloněných rovin různých sklonů, které stojí na zemi a mají stejně dlouhou základnu.
(Jsou tedy různě vysoké). Mohu z nich sestavit "loukotě kola".
Kuličky mi dopadnou na zem synchronně pouze pro každou dvojici s úhly  náklonu [mathjax]\alpha ,\text{ }\frac{\pi }{2}-\alpha [/mathjax].
2D tady je rovina [mathjax]z=0[/mathjax]. To neprošlo. OK.

Tak 2D znamená, že A, B, C, D leží v jedné rovině [mathjax] \sigma [/mathjax] (dané pevným časem [mathjax]t[/mathjax]) a bod D leží na kružnici [mathjax]k[/mathjax] určené body A, B, C?

Jestli je to míněno takhle, tak možná to pro nějaké D platí, ale určitě ne obecně:

Udělám nakloněnou rovinu z našeho spouštěcího bodu tak strmou, že se po ní za čas [mathjax]t[/mathjax] spustím níž, než je bod kružnice [mathjax]k[/mathjax] s nejmenší ypsilonovou souřadnicí.
Tím mám zaručené, že D leží mimo kružnici, případně i mimo rovinu [mathjax] \sigma [/mathjax].
A žádný tětivový čtyřúhelník není...

Jestli to teda chápu správně, tak ty čtyři body musí ležet na kružnici. Tři z nich na kružnici budou ležet vždycky. A ten čtvrtý už se na ni musí trefit. Má li to platit, tak je jedno, kde ten čtvrtý bude, musí to platit pro libovolný úhel. Tím pádem ta kružnice nemůže záviset na tom, jak si ty 4 sklony zvolíme, musí být vždycky stejná.

Dále - body se budou pohybovat se zrychelním [mathjax]a = g \cdot \cos \varphi[/mathjax], kde ten úhel je úhel od kolmice. Tedy nula se rovná svislý pohyb, 90° bude vodorovný. Po uplynutí času T urazí každý z bodů dráhu

[mathjax]s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}gt^2 \cdot \cos \varphi[/mathjax]

Ten výraz [mathjax]\frac{1}{2}gt^2 [/mathjax] je pro všechny body stejný, takže ho můžeme nahradit nějakou konstantou, a řekl bych, že bez újmy na obecnosti klidně jedničkou (a později tam dopíšeme třeba nějaké L).

Čímžpádem se nám celý problém zredukoval na to, zdali úsečka vedoucí z počátku pod úhlem [mathjax]\varphi[/mathjax] (je to úhel od kolmice) a mající délku [mathjax]\cos \varphi[/mathjax] nám svým koncem vytvoří kružnici.

Úplně extaktně to asi nedokážu, ale pokud by to byla opravdu celá polovina kružnice, tak by to dle Thaletovy věty dávalo smysl. Nevím, jestli to dokážu bez obrázku vysvětlit. Ale pro [mathjax]\varphi = 0[/mathjax] (to je svislý směr) bychom dostali spodní bod půlkružnice, a úsečka do konce naší úsečky by s ní svírala úhel 90°, a na vzniklém trojúhelníku by pak platilo že délka naší úsečky je [mathjax]\cos \varphi[/mathjax].

A když vyšetříme případ [mathjax]\varphi = 45°[/mathjax], dokážeme, že máme opravdu celou polovinu kružnice.

Ale předpokládám, že to lze celé udělat nějak elegantněji nebo korektněji, nebo že je to všeobecně známé a stačí to někde najít.

Ahoj vsem,
ja budu trochu strucnejsi:
[mathjax]s_i=ct^2\sin\alpha_i[/mathjax]
[mathjax]x_i=ct^2\sin\alpha_i\cos\alpha_i=\frac{ct^2}2\sin(2\alpha_i)[/mathjax]
[mathjax]y_i=ct^2\sin^2\alpha_i=\frac{ct^2}2-\frac{ct^2}2\cos(2\alpha_i)[/mathjax]
c.b.d.

↑ MichalAld: Výborně! Vyšel jsi správným směrem. A řešení přes Thaletovu větu je moc hezké.
↑ Bati: Super, je to správně. :)

↑ osman: Psal jsem, že ta úloha je 2D. Omlouvám se, pokud tě to spletlo ale bylo to myšleno přesně tak, jak to řešili Bati a MichalAld. Tvá formulace je možná trochu přesnější.

↑ Anonymystik:
Takže jestli to chápu správně, tak jde o variantu "prkna nad sebou".
Platí to i v případě jednoho vodorovného prvka, tj. že se jeden vozík nebude pohybovat?

check_drummer napsal(a):

↑ Anonymystik:
Takže jestli to chápu správně, tak jde o variantu "prkna nad sebou".
Platí to i v případě jednoho vodorovného prvka, tj. že se jeden vozík nebude pohybovat?

To je horní bod té kružnice. Spodní bod tvoří vozík padající volným pádem. A střed má v polovině mezi těmito dvěma body.