Matematické Fórum

simonaj1 · 08. 07. 2009 18:36

Ahoj, nějak jsem se zasekla na derivaci fce ${(\frac{2x+1}{x^2+x})\prime}$ mělo by vyjít ${\frac{2x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2}$ , ale já fakt nemůžu za boha přijít na to co s tím udělali, aby jim to vyšlo, mě vychází ${\frac{-2x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2}$ :-(

Marian · 08. 07. 2009 18:51

Výsledek máš správně ty. Můžeš si to ověřit třeba zde:
http://www09.wolframalpha.com/input/?i= … x^2%2Bx%29

simonaj1

ok, díky, hezký odkaz, ale mám ještě jeden problém, jak se z derivace tohohle ${\frac{-2x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2}$ dostanu k ${\frac{2(2x+1)(x^2+x+1)}{x^3(x+1)^3}}$
derivaci ${\frac{-2x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2}$ počítám jako $\frac{(-2x^2-2x-1)'(x^4+2x^3+x^2)-(-2x^2-2x-1)(x^4+2x^3+x^2)'}{(x^4+2x^3+x^2)^2}$ takze pokud je to takhle spravne, pak po derivovani dostanu ${\frac{(-4x-2)(x^4+2x^3+x^2)-(-2x^2-2x-1)(4x^3+6x^2+2x)}{(x^4+2x^3+x^2)(x^4+2x^3+x^2)}}$ pak po roznasobeni ${\frac{4x^5+10x^4+16x^3+6x^2+2x}{x^8+4x^7+6x^6+4x^5+x^4}}$ ale jak z toho sakra udelam ten vysledek? Jeste jsem schopna z toho vytknout tu 2 a x^3 ${\frac{2x(2x^4+5x^3+8x^2+3x+1)}{x^4(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)}}$ , pokratim x a zbyde mi ${\frac{2(2x^4+5x^3+8x^2+3x+1)}{x^3(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)}}$ ale s tim zbytkem proste nehnu

jelena · 08. 07. 2009 20:48 — Editoval jelena (08. 07. 2009 20:48)

Zdravím,

snaž se co nejméně roznasobovat:

$\left({\frac{-2x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2}\right)^{\prime}={\frac{(-4x-2)(x^2(x+1)^2)-(-2x^2-2x-1)(2x(x+1)^2+x^2(2(x+1))}{x^4(x+1)^4}$

Chytáš to tak?

Teď půjde vytykat v čitateli $2x(x+1)$

Není jisté, že výsledek bude sedět s materiálem, co máš, přec v prvním kroku byl nějaký rozdíl.

OK?

simonaj1 · 08. 07. 2009 21:07

↑ jelena:rozdíl byl, protože jsem kopyto co přehlídne mínus před zlomkovou čárou:-D

simonaj1 · 08. 07. 2009 21:27

↑ jelena:
no pobrala jsem tu derivaci, ale nějak nevytknu to $2x(x+1)$ z těch závorek v čitateli... nevím jestli to počítám dobře...
$\frac{2x(x+1)(-2x-x)(x(x+1))+(2x^2+2x+1)(2x(x+1)(x+1)+2x^2(x+1))}{x^4(x+1)^4}$ a navíc nevím kde všude mi to zmizí po vykrácení v čitateli?

jelena · 08. 07. 2009 22:10 — Editoval jelena (08. 07. 2009 23:57)

EDIT: kolega Olin má lepší nápad - viz dál v tématu, je zbytečné ztrácet čas luštěním mé úpravy.

simonaj1

↑ jelena:hezký, já jsem se ztratila úplně hned na konci prvního řádku... kam zmizelo $x^2(2(x+1))$ ?:-(, podívám se na to zítra... moc děkuji

jelena · 08. 07. 2009 22:37 — Editoval jelena (08. 07. 2009 23:57)

↑ simonaj1:

přidám EDIT do původního příspěvku - splněno.

Olin · 08. 07. 2009 22:52

Přeji hezký večer, kolegyně,

mé zkušenosti praví, že než se mořit s přímým derivováním takovéhoto složitějšího výrazu, je lepší si s ním nejprve trochu "pohrát" (pravidlo pro derivaci podílu používám jen v nejnutnějších případech). Podívejme se tedy na náš výraz:

$\frac{2x^2 + 2x + 1}{x^2(x+1)^2} = \frac{x^2 + x^2 + 2x + 1}{x^2(x+1)^2} = \frac{x^2 + (x+1)^2}{x^2(x+1)^2}$ .

Ejhle, v čitateli je součet stejných výrazů, jako je ve jmenovateli součin (poněkud neobratná formulace, ale snad chápete). Pojďme dál:

$\frac{x^2 + (x+1)^2}{x^2(x+1)^2} = \frac{x^2}{x^2(x+1)^2} + \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x^2}$ ,

což už je, jak jistě uznáte, hračka zderivovat :-)

Bohužel, je mi jasné, že takovýto pohled na věc už vyžaduje nějaký ten cvik, a proto je asi lepší si projít natvrdo tu derivaci podílu a důkladně si ji zažít, protože pak aspoň člověk ví, že dokáže vždycky zderivovat všecko na tento způsob. Považujte tedy můj příspěvek za snad inspirující, ale jinak veskrze zbytečný :-)

petr_b · 14. 07. 2009 09:27

Ahoj,
mohu poprosit o radu nejsem zadny matematik, jen potrebuji poradit s prikladem

omega(t)=( dL(t) / dt ) / ( r * sqrt ( 1 - ( L(t)^2 / 4r^2) ) )

pokud se nekdo ozve a pomuze vse se pokusim vysvetlit
moc dekuji a omlouvam se pokud jsem to dal na spatne misto

gladiator01

takhle to má být?
$\omega(t)=\frac{L(t)^\prime}{r\cdot sqrt ( 1 - \frac{ L(t)^2}{4r^2})}$ a mohl by jsi napsat co se s tím má dělat (máš udělat fourierovu transformaci (????) nebo co?)

příště si založ vlastní téma.

petr_b · 14. 07. 2009 10:06 — Editoval petr_b (14. 07. 2009 10:55)

↑ gladiator01:
ahoj,
moc dik
no pokusim se popsta o co mi jde.
Na astronomii se poziva tzv. pantovy stolek, kde se upne fotak a muzes nejakou dobu exponovat a hvezdy jsou bodove.
Jako pohon toho otaceni je zavitova tyc se stoupanim 1,5 mm to ale neni uplne idealni a dobu expozice mohu nastavit jen na kratkou dobu, pak uz to neni linearni. Idelni reseni je zavitovou tyc ohnout do obloku. Na konci tyce je prevodovka 1:100 a krokovy motor, ktery se necha ridit a ja potrebuji spocitat kdy a o kolik mam pohnout (zrychlit, zpomalit) s motorm. nejlepe tabuku kterou prenesu do programu rizeni.

pocet kroku motoru 200 na otacku
prevod 1:100
delka ramene [mm]: 340
stoupani sroubu [mm] : 1,5

r je poloměr ramene od osy rozevírání k ose šroubu

omega(t) je úhlová rychlost rozevírání ramen v čase t

L(t) je aktuální délka šroubu (rozevření) v čase t

dL(t)/dt = v(t) je derivace délky šroubu v čase t, tedy vlastně okamžitá rychlost rozevírání ramen, daná stoupáním a otáčkami šroubu. Pokud bude konstantní, rychlost rozevírání omega bude nekonstantní.

Náš problém je nalézt takový průběh v(t) tedy rychlosti rozevírání šroubu, aby omega(t) bylo konstantní.

pro predstavu vložim obrazek

Rumburak

Má-li být omega(t) v celém časovém intervalu konstantní, pak rovnice $\omega(t)=\frac{L(t)^\prime}{r\cdot sqrt ( 1 - \frac{ L(t)^2}{4r^2})}$ má tvar
$a=\frac{L(t)^\prime}{r\cdot sqrt ( 1 - \frac{ L(t)^2}{4r^2})}$ , což je diferenciální rovnice pro neznámou funkci L. Její integrací obdržíme
$at + c = \int \frac{L(t)^\prime}{r\cdot sqrt ( 1 - \frac{ L(t)^2}{4r^2})} \text{d} t$ , kde c je integrační konstanta.
Integrál se dá spočítat celkem snadno. Nejprve substitucí y = L(t): $at + c = \int \frac{\text{d} y}{r\cdot sqrt ( 1 - \frac{ y^2}{4r^2})}$
a dále substitucí $\frac{y}{2r} = \sin x$ : $at + c = \int \frac{2r \,\cos x \,\text{d} x}{r\,\cos x} = 2x$ .
Celkem
$L(t) = y = 2r \,\sin x = 2r \,\sin \frac {at + c}{2}$ .

Stačí již jen vhodně zvolit konstanty a, c.

petr_b · 14. 07. 2009 11:42

↑ Rumburak:
je moc dekuji, ale stejne nerozumim
nemohu poprosit o spocitani ?

je mozne z toho spocitat napr.
ze musim menit rychlost kazdych 10s ale nevim o kolik (zrychlit, zpomalit)
moc dik a omlouvam se za blbosti

jeste napisu ze hvezdny cas je 23 hodin, 56 minut

Rumburak

Takže $v(t) = L^\prime (t) = ar \,\cos \frac {at + c}{2}$ ,
do této rovnice je potřeba nějak dosadit ty dodatečné podmínky,
jimž ale zase příliš nerozumím já ...

petr_b · 14. 07. 2009 14:24 — Editoval petr_b (14. 07. 2009 14:48)

↑ Rumburak:
moc dik pokusim se uz dosadit a spocitat
jeste prosim moc nerozumim co doplnit do konstanty a, c

v(t): - rychlost rozevreni sroubu
at: ?
c: ?

Rumburak

↑ petr_b:
Má představa o fungování toho přístroje je značně mlhavá, poto i mé následující úvahy mohou být nesprávné.

Úkolem tohoto zažízení je zřejmě vyrovnávat se s rotačním pohybem Země, neboli uvést pohyb fotoaparátu do souladu
se zdánlivým pohybem oblohy.

Výchozí dif. rovnice je splněna tehdy, je-li $\frac {at + c}{2} \in (-\frac {1}{2} \pi, \, \frac {1}{2} \pi )$ . To by mělo odpovídat nočním hodinám - tedy časovému intervalu
(18 h. p.m., 6 h.a.m následujícího dne), aby to bylo matematicky symetrické.

Soudím, že konstanta c je závislá na počáteční orientaci přístroje (případně stativu na podložce) a při vhodné této orientaci může být rovna 0.
Za vhodnou orientaci z tohoto pohledu bych si troufl považovat takovou, kdy o půlnoci je objektiv namířen k obloze tak, že jeho osa leží v rovině
proložené poledníkovou kružnicí, a zároveň poloha objektivu je ve "střední poloze" vzhledem k rozsahu předpokládaného pohybu.

Chceme-li počítat čas v sekundách, pak je nutno volit konstantu a tak, aby $\frac {aS}{2} = 2\pi$ , kde S je délka dne v sekundách, takže $a =\frac {4\pi}{S}$ ,
celkem $L(t) = 2r \,\sin \frac {2\pi t}{S}$ , $v(t) = \frac {4\pi r}{S} \,\cos \frac {2\pi t}{S}$ .

Budou-li splněny všechny zmíněné předpoklady, pak v časovém intervalu (-S/4, S/4), kdy je "noc", se objektiv bude pohybovat
v souladu s oblohou, v časovém intervalu (S/4, 3S/4), kdy je "den", v opačném směru (výchozí DR zde není splněna funkcí L,
ale funkcí -L) a vrátí se do polohy příslušné okamžiku -S/4. Pohyb objektivvu bude mít časovou periodu S.

Matematické Fórum

#1 08. 07. 2009 18:36

derivace fce

#2 08. 07. 2009 18:51

Re: derivace fce

#3 08. 07. 2009 20:30 — Editoval simonaj1 (08. 07. 2009 20:35)

Re: derivace fce

#4 08. 07. 2009 20:48 — Editoval jelena (08. 07. 2009 20:48)

Re: derivace fce

#5 08. 07. 2009 21:07

Re: derivace fce

#6 08. 07. 2009 21:27

Re: derivace fce

#7 08. 07. 2009 22:10 — Editoval jelena (08. 07. 2009 23:57)

Re: derivace fce

#8 08. 07. 2009 22:24 — Editoval simonaj1 (08. 07. 2009 22:28)

Re: derivace fce

#9 08. 07. 2009 22:37 — Editoval jelena (08. 07. 2009 23:57)

Re: derivace fce

#10 08. 07. 2009 22:52

Re: derivace fce

#11 14. 07. 2009 09:27

Re: derivace fce

#12 14. 07. 2009 09:51 — Editoval gladiator01 (14. 07. 2009 10:07)

Re: derivace fce

#13 14. 07. 2009 10:06 — Editoval petr_b (14. 07. 2009 10:55)

Re: derivace fce

#14 14. 07. 2009 11:30 — Editoval Rumburak (14. 07. 2009 14:33)

Re: derivace fce

#15 14. 07. 2009 11:42

Re: derivace fce

#16 14. 07. 2009 14:15 — Editoval Rumburak (14. 07. 2009 14:31)

Re: derivace fce

#17 14. 07. 2009 14:24 — Editoval petr_b (14. 07. 2009 14:48)

Re: derivace fce

#18 15. 07. 2009 17:10 — Editoval Rumburak (15. 07. 2009 17:22)

Re: derivace fce

Zápatí