Matematické Fórum

↑ check_drummer:,
Pozdravujem,
Ak si nenasiel, tie Belgicke teoremy, tu mas jednu klucovu myslienku: Nech je dana jedna kruznica  a jeden bod A mimo nej ( vonkajsi bod v rovine kruznice), z  bodu A mame dve dotycnice k danrej kruznici, ktore sa jej dotykaju v bodoch B a C, potom usecky [AB] a [AC] maju rovnaku dlzku. 

A podobna vlasnost plati aj pre gulu.

↑ Stýv:
Mně přijde taky zřejmější, že řez válcem je lepisa. Ale že je to kuželosečka, to taky platí (dalo by se říct že tak je definovaná, kažopádne lze ukázat ekvivalenci s rovinnou definicí jak píše vanok)... Ale spíš mi jde o ten vztah dvou těles - na jedné straně válec, na druhé kužel, a přesto je řez v obou případech elipsa.... I když kužel se zužuje a válec ne - tak bych čekal, že v jednom z těch vdou případů nebiude elipsa (resp. tak křivkaco vznikne) "souměrná" (díky tomu zužování nebo naopak nezužování - u válce).

↑ check_drummer:
Dokaz.
Rob si zaroven obrazok. 
Nech M je lubovolnny bod prieseseku roviny a valca (tu uvazujme, ze rovina prieseku je kolma na rovinu “vykresu”).
Uvazuj genericku priamku d valca prechadzajucu bodom M ( priamka d je rovnovezna z osouv valca) .
Tiez uvazuj dve gule  g1; g2 vpisane do valca a
dotykajuce sa danej roviny v bodoch F1 a F2   a
valco kruznicami k1 (gula g1) a k2 (gula g2) ktore maju spolocne s priamkou d respektivne body M1 a M2.
Priamky MF1 a MM1 sa dotykaju gule g1 a tak ( cf #3) MF1=MM1.
Podobne mame MF2= MM2.
To nam da MM1+MM2= M1M2 = MF1+ MF2 (*) co  konstanta lebo
M, M1 a M2 su na priamke d a
k1 a k2 su v dvoch rovnobeznych rovinach ( vzdialenosti M1M2) a tak tato uvaha plati pre lubovolny bod M.
Zaver geometricke miesto bodov “sikmym” rezom podla #1 je elipsa.

Poznamka: dost podobne uvaha sa da urobit ja pre rotacny kuzel.

Otázka tedy je jestli když máme elipsu, která je řezem kužele a roviny a chceme tutéž elipu vyjádřit jako řez stejné roviny a nějakého válce, zda ten válec bude mít stejnou osu jako ten kužel....

Grafický důkaz je asi problematický, ale matematický je celkem jednoduchý. Stačí dosadit. Jak už tu padlo, přijde mi spíš hůře představitelné, že elipsa je průsečík kuželu a roviny.

Já myslím, že lze dokázat v plné obecnosti, že průsečík kvadratické plochy a roviny nemůže být nic jiného než křivka druhého řádu - protože umocněním lineárního výrazu na druhou nikdy nedostaneme výraz vyššího než druhého řádu. A protože nic jiného než ty 4 kuželosečky už není, musí to být vždy jedna z nich.

↑ MichalAld:
Obojí odděleně, kužel i válec jsou jasné.... Jde spíš o zdánlivý rozpor, když jednu elipsiu "vepíšu" současně do kužele i do nějakého válce.... Jaká musí být ta jejich vzájemná poloha....

↑ MichalAld:
To je zajímavá otázka - a pokud lze těch kuželů volit více tak jaké? Např. může osa toho kužele svírat s elipsou libovolný úhel? Pokud ne, tak jaké jsou ty hraniční úhly?

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
( podla mojich spomienok, na temu co sa ucilo z geométrie  na srednych skolach, v Zapadnej  Europe, v polovici 20° storocia)
Kuzelosecky: geometricka definicia. 

Treba vediet co je osa rotacneho kuzelu a co je jeho jedna generacna priamka, ktora pretina osu vo vrchole O kuzela (= da rotaciovou okolo osy da plast kuzela. )
Rovina rovnobezna z generacnou priamkou da parabolu ako priesecnicu z kuzelom.
Ak  rovina pretina “horny a dolny” plast kuzela tak ide o hyperbolu. 
A ak rovina  pretina len jeden plast kuzela tak ide o elipsu. 
( lahko sa to vyjadri aj podla uhla osy a generacnej priamky).
V tedajsom Ceskoslovesku  nemam ziadne spomienky z geometrie tykajuce sa kuzeloseciek a nepoznam ani ziadnu sk. ci cz. knihu na tuto temu).

↑ check_drummer:
Ale vždyť o tom přece mluvím. U válce je to jednoznačné. Válec musí mít průměr stejný jako je kratší osa elipsy. Potom ho elipsou prostrčíme a pak ho skláníme tak dlouho, až se dotkne zbývajících částí. U válce je to jednoznačná úloha.

Stejnět tak můžeme postupovat i s kuželem, jen je to trochu náročnější na tu 3D představivost. Jenže kužel může mít různý ten vrcholový úhel. Ale i tak ho můžeme vždycky v kolmém směru strčit až na doraz, a pak ho sklápět.

A protože víme, že jiná křivka druhého řádu podobná elipse neexistuje, tak víme také to, že když se kužel dotkne elipsy ve 4 bodech, tedy tam co končí velká a malá osa, dotkne se i celé elipsy. Takže vlastně stačí, když se budeme v našich myšlenkách zabývat jen těmi 4 body (nevím, jestli se nějak jmenují).