Matematické Fórum

simonaj1 · 14. 07. 2009 19:09

Ahoj, měla bych tu příklad a nevím jestli ho mám správně, protože ho mám od někoho vyřešený, ale já mám něco jiného než ten dotyčný... takže otázka zní "mám to správně?"
${\lim}\limits_{x \to \1}{(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx})}={\lim}\limits_{x \to \1}{(\frac{lnx-(x-1)}{(x-1)lnx})}$ tady využiju l'hospitala, protože to mám 0/0
derivace ${(ln(x)-(x-1))'}={(ln(x))'-(x-1)'}={\frac{1-x}{x}}$
derivace ${((x-1)lnx)'}={(x-1)'(lnx)+(x-1)(lnx)'}={lnx+\frac{(x-1)}{x}}$ dosadim do lim
${\lim}\limits_{x \to \1}{\frac{\frac{1-x}{x}}{lnx+\frac{(x-1)}{x}}}$ to opět derivuji, protože zas vychází 0/0
derivace ${(\frac{1-x}{x})'}={\frac{(1-x)'(x)-(1-x)(x)'}{x^2}}={\frac{-1}{x^2}}$
derivace ${(lnx+\frac{(x-1)}{x})'}={(lnx)'+(\frac{x-1}{x})'}={\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$
dosadím do lim ${\lim}\limits_{x \to \1}{\frac{\frac{-1}{x^2}}{{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}}={\frac{\frac{-1}{1^2}}{{\frac{1}{1}+\frac{1}{1^2}}}}={-\frac{1}{2}}$

Olin · 14. 07. 2009 19:17

S postupem i výsledkem souhlasím, jen opět malá připomínka k efektivitě:
$(\ln x - (x - 1))' = \frac 1x - 1$
Když to necháš v tomto tvaru, bude se ti to pak snadněji znova derivovat.

Matematické Fórum

#1 14. 07. 2009 19:09

lim x jdoucí k 1

#2 14. 07. 2009 19:17

Re: lim x jdoucí k 1

Zápatí