Matematické Fórum

simonaj1 · 15. 07. 2009 05:59

tak jsem tu zas.... ještě jsem si včera nedala pokoj a zkusila další příklad, jediné kam jsem se dostala byl začátek, protože pak jsem se tak zamotala do derivací, že to nakonec nikam nevedlo... možná na to jdu špatně...
${\lim}\limits_{x \to \0}{\frac{1}{sin^2x}-\frac{1}{x^2}}$ celé jsem to upravila, abych mohla přes l'hospitala derivovat...
${\lim}\limits_{x \to \0}{\frac{x^2-sin^2x}{x^2sin^2x}}$ ... tak kdybyste se mě zas někdo ujal... prosím

Asinkan · 15. 07. 2009 06:26

Když to čtyřikrát zderivuješ dle l'Hopitala, dostaneš 8/24=1/3

simonaj1 · 15. 07. 2009 07:52

↑ Asinkan: OK, tak já budu pokračovat, skončila jsem po druhé derivaci, páč mi přišlo, že to nikam nevede a že z toho vzniká neskutečný guláš...

kaja(z_hajovny) · 15. 07. 2009 08:12

jde to upravit na limitu ${\lim}\limits_{x \to 0}{\frac{x^2-sin^2x}{x^4}}$ a bude se to lip derivovat

vyuzivame toho, ze $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

simonaj1 · 15. 07. 2009 08:17

↑ kaja(z_hajovny):nechápu... kde se ve jmenovateli vzalo x^4?

simonaj1

ještě by mě zajímalo... když mi při derivaci vyjde $2cosxsinx$ ... můžu to nahradit zápisem $sin2x$ ? a pokud ano... je potom $2x^2cosxsinx$ to samé jako $x^2sin2x$ ?

Olin · 15. 07. 2009 08:57 — Editoval Olin (15. 07. 2009 09:09)

↑ simonaj1:
Ano, je to to samé, nahradit to můžeš.

To $x^4$ se tam objevilo následovně:

$\lim_{x \to 0}{\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}} = \lim_{x \to 0}{\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}} \cdot \underbrace{\lim_{x \to 0} \frac {\sin^2 x}{x^2}}_1 = \lim_{x \to 0}{\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}} \cdot \frac {\sin^2 x}{x^2} = \lim_{x \to 0}{\frac{x^2-\sin^2x}{x^4}}$ .

Mimochodem, pak se ještě dá hezky pokračovat
$\lim_{x \to 0}{\frac{x^2-\sin^2x}{x^4}} = \lim_{x \to 0}{\frac{(x + \sin x) (x - \sin x)}{x^4}} = \lim_{x \to 0}{\frac{x+\sin x}{x}} \cdot \lim_{x \to 0}{\frac{x-\sin x}{x^3}}$ .
První limita je rovna 2 a druhá je na dva l'Hospitaly.

simonaj1 · 15. 07. 2009 11:01

↑ Olin:tý brďo, tak tohle je fakt vychytaný:-)

Matematické Fórum

#1 15. 07. 2009 05:59

lim sin^2(x)

#2 15. 07. 2009 06:26

Re: lim sin^2(x)

#3 15. 07. 2009 07:52

Re: lim sin^2(x)

#4 15. 07. 2009 08:12

Re: lim sin^2(x)

#5 15. 07. 2009 08:17

Re: lim sin^2(x)

#6 15. 07. 2009 08:38 — Editoval simonaj1 (15. 07. 2009 08:43)

Re: lim sin^2(x)

#7 15. 07. 2009 08:57 — Editoval Olin (15. 07. 2009 09:09)

Re: lim sin^2(x)

#8 15. 07. 2009 11:01

Re: lim sin^2(x)

Zápatí