Matematické Fórum

Dobrý deň, mám za úlohu urobiť dokaz a chcel by som požiadať o pomoc. Úloha je v angličtine:
Let [mathjax]S_3[/mathjax] be the symmetric group of permutations on 3 elements [mathjax]\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}[/mathjax].
Consider [mathjax]\mathbb{C}[\overline{1},\overline{2},\overline{3}][/mathjax], the permutation [mathjax]S_3[/mathjax]-module, with elements [mathjax]a \overline{1} + b\overline{2} + c\overline{3}[/mathjax] for [mathjax]a,b,c \in \mathbb{C}[/mathjax] and action [mathjax]g(a\overline{1} + b \overline{2} + c \overline{3} ) = a g \overline{1}  + b g \overline{2}  + c g \overline{3} [/mathjax] where [mathjax]g \in S_3[/mathjax].

a) Show that the vector subspace [mathjax]\langle \overline{1} + \overline{2}  + \overline{3}  \rangle \le[\overline{1},\overline{2},\overline{3}][/mathjax] is a [mathjax]S_3[/mathjax]-submodule and isomorphic to the trivial [mathjax]S_3[/mathjax]-module [mathjax]\mathbb{C}[/mathjax].

b) Show that the vector subspace [mathjax]\langle \overline{2} - \overline{1},  + \overline{3}-\overline{2} \rangle \le  \mathbb{C} [\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}][/mathjax] is also an [mathjax]S_3[/mathjax]-submodule and that [mathjax]\langle \overline{2} - \overline{1},  + \overline{3}-\overline{2} \rangle + \langle \overline{1} + \overline{2} + \overline{3} \rangle = \mathbb{C} [\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}][/mathjax]

a) Ja myslím, že stačí ukázať, že vektorový podporiestor [mathjax]\langle \overline{1} + \overline{2}  + \overline{3}\rangle[/mathjax] je proste module, to by som urobil jednoducho tak, že by som overil, že splňuje podmienky, ktoré sú kladené na module z definície, je to tak?

b) v tom bečku neviem ako na to.