Matematické Fórum

Psal jsi násobit, né dělit

Erathostenes:
Přestaňme řešit blbosti a vraťme se k iracionálním rovnicím co mají nekonečné množství řešení, jako je třeba tady ta tvoje:

[mathjax]\huge \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}= \sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}[/mathjax]

A ano, asi jsme neměli dost dobrou matematiku, protože já se s tímhle typem rovnic nikdy nesetkal. A přijde mi to docela zajímavé, tak bych to rád pochopil aspoň teď. Takže následující text ber jako moje soukromé myšlenky, né jako rozporování něčeho tvého.

Takys tu někde zmínil, že za nekonečné množství řešení může to umocňování, a já tvrdím, že to není pravda. Umocňování nám nedokáže zařídt nekonečné množství řešení. Rovnice ho musela mít už před tím. A normální iracionální rovnice ho nemají, aby ho měly, musí být nějakým způsobem "degenerované". To slovo jsem si zrovna vymyslel, ale budu ho nadále používat, přijde mi docela vhodné.

A aby měla iracionální rovnice nekonečné množství řešení, musí se ty výrazy na levé a pravé straně rovnat. Jinak to prostě není možné, podle mě.

[mathjax]\huge \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}= \sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}[/mathjax]

Takže pokud víme, že má tahle rovnice nekonečno řešení, musí být levá strana rovna té pravé - a pak to taky musí být možné nějakými standardními úpravami výrazů ukázat. Podle mě žádná možnost, že by se výrazy rovnaly a přitom nešly převést jeden na druhý nemůže existovat.

Problém je jen v tom, že my nevíme, jestli tahle rovnice má nekonečné množství řešení. Protože to může mít ta druhá, nazvu ji třeba anti-degenerovaná, tedy:

[mathjax]\huge \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}= -\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}[/mathjax]


To, že jsme rovnici umocnili na druhou způsobilo jen to, že nevíme, které z původních rovnic se výsledek týkal, a mě nenapadá jednoduchý způsob, jak to s jistotou poznat. Jiný než ten, že se pokusíme výrazy upravit tak, aby si opravdu rovné byly. Což je to, co jsem udělal, tedy

[mathjax]\huge \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}= \sqrt{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2}[/mathjax]

a

[mathjax]\huge \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}= - \sqrt{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2}[/mathjax]

V tomhle tvaru už je na první pohled zřejmé, že výrazy jsou stejné, alespoň někde, kde to vychází znaménkově. Stejně ale není na první pohled vidět, jestli mají obě rovnice nekonečné množství řešení nebo jedna z nich nemá žádné, nebo má jedno. Ale aspoň je jasné, jak na to jít, protože tu [mathjax]\sqrt{(...)^2}[/mathjax] můžeme nahradit absolutní hodnotou, a to už je pak standardní věc.

[mathjax]\huge \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}= |\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}|[/mathjax]

a

[mathjax]\huge \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}= - |\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}|[/mathjax]


Možná to není ten nejjednodušší způsob, jak se dopracovat k výsledku, ale určitě je to dobrý způsob jak pochopit, proč ta rovnice má nekonečné množství řešení. Že ta degenerace tam musela být už před umocněním. Umocnění nám nekonečné množství řešení nezařídí. Zařídí akorát to, že vezme do "jednoho koše" degenerovanu i anti-degenerovanou rovnici, a my pak musíme vybrat, které z nich se to řešení týká. Což jde ale blbě, protože nekonečné množství řešení schová i všechny ostatní možné variatny. Takže se podle mě musíme vrátit k těm původním rovnicím.

↑↑ Eratosthenes:

Nulou násobit rovnici v principu můžeš, je to důsledková úprava. Ale je celkem k ničemu, vyjde ti 0=0, nekonečně řešení a nic nezískáš, ani zkoušku neuděláš....

↑ Eratosthenes:
Já to tady pozorně pročítám. Nicméně pořád si myslím to, na co jsi mě navedl ve tvém příspěvku #2. Podmínka, která mi chyběla, byla ta pro první umocnění: protože vpravo bylo kladné číslo, tak je dle mého plně postačující stanovit i pro levou stranu podmínku kladnosti, pak je umocnění ekvivalentní.
Dál si však stále myslím, že iracionální rovnice (a tím spíše nerovnice) lze vždy ošéfovat podmínkami (tzn. bez zkoušky), byť jsou již od dvou odmocnin dost komplikované.

↑ Eratosthenes:
1) To není pravda, přečti si pozorněji můj původní příspěvek. Stanovil jsem čtyři podmínky (nikoliv dvě), není to tak triviální, abys dělal jen podmínky pro výraz pod odmocninou. Pro levou stranu jsem podmínku stanovil následně a tím jsem určil všechny podmínky, poslední vyřadila právě to falešné řešení.
2) Ty tvrdíš, že nelze, ale tvrdíš to bez důkazu (ta omáčka, co tu vznikla samozřejmě není důkaz). Můj první příspěvek (po doplnění poslední podmínky) je právě ukázkou, že minimálně zrovna v tomto případě to evidentně lze.
Nemohu se zbavit dojmu, že reaguješ na příspěvky, které si pořádně nepřečteš...

↑ Eratosthenes:
1) Obviňuješ mě z následného doplňování příspěvků? Tak se, laskavě, podívej na čas editace mého prvního příspěvku a na čas tvé první reakce. Opět nejsi schopen pořádně číst.
2) Nevidíš řešení té nerovnice (podmínky)? Zase se pořádně nedíváš, pročti si příspěvek #5.
3) Odpouštím ti. Neudělej, prosím.

MichalAld napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Hele, a je jisté, že tady ten postup, cos mi ukázal, povede vždycky k cíli?
Nemáš v zásobě ještě nějakou rovnici, co má nekonečno řešení?

Obecně neexistuje postup, kterým vyřešíš všechny rovnice, tak je potřeba naspat obecný tvar rovnic, který chcš řešit.